グリーンの定理を用いる

質問

∫C x^2ydx+(x-y^2)dy
＝∬(C) （１－ｘ＾２）dxdy
＝πー∫[0～1]r^3dr∫[0～2π]cos^2θdθ
＝３π/4πになると思うのですが、
２個めの＝と３個目の＝の部分がなぜこうなるのかわかりません。
教えてください。

回答No.1

muturajcp

グリーンの定理とは
xy平面で、単一閉曲線Cで囲まれる領域をRとする
2つの関数M(x,y),N(x,y)について
∫_{C}[Mdx+Ndy]
=∬_{R}(N_x-M_y)dxdy
なので
質問の1行目と2行目の積分領域が同じCというのは間違いなので
1個目の=は成り立たないので2個目の=も成り立たない

単一閉曲線
C={x^2+y^2=1}
とすればCで囲まれる領域
R={x^2+y^2≦1}
となる
M(x,y)=(x^2)y
N(x,y)=x-y^2
とすると
N_x=1
M_y=x^2
x^2+y^2≦1
だから
x=rcosθ
y=rsinθ
とすれば
0≦r≦1
0≦θ≦2π
N_x-M_y=1-x^2=1-r^2(cosθ)^2
dxdy=rdrdθ
だから

∫_{x^2+y^2=1}[(x^2)ydx+(x-y^2)dy]
=∬_{x^2+y^2≦1}(1-x^2)dxdy
=∬_{0≦r≦1,0≦θ≦2π}{1-r^2(cosθ)^2}rdrdθ
=∬_{0≦r≦1,0≦θ≦2π}rdrdθ-∬_{0≦r≦1,0≦θ≦2π}{r^3(cosθ)^2}drdθ
=∫_{0～1}rdr∫_{0～2π}dθ-∫_{0～1}(r^3)dr∫_{0～2π}{(cosθ)^2}dθ
=[r^2/2]_{0～1}[θ]_{0～2π}-∫_{0～1}(r^3)dr∫_{0～2π}{(cosθ)^2}dθ
=(1/2)(2π)-∫_{0～1}(r^3)dr∫_{0～2π}{(cosθ)^2}dθ
=π-∫_{0～1}(r^3)dr∫_{0～2π}{(cosθ)^2}dθ
=π-[r^4/4]_{0～1}∫_{0～2π}[{1+cos(2θ)}/2]dθ
=π-(1/4)[{θ+sin(2θ)/2}/2]_{0～2π}
=π-(1/4)(2π)/2
=π-(π/4)
=3π/4

なので=3π/4πも間違いなので3個目の=も成り立たない

3π/4