- ベストアンサー
微分積分に関する質問
極座標表示で表された曲線C1:r = f(θ) (α＜θ＜β)の長さl1は、l1=∫α→β:√(f(θ)^2＋f'(θ)^2)dθであることを証明し、曲線C:r=a(1+cosθ) (a＞0)の長さlを求めよ、という問題ですが、どの様にして解答していけば良いのでしょうか？ よろしくお願いします。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 自然対数の微分、関数
関数f(x)=logxがあり,曲線y=f(x)上の異なる2点をA(a,f(a)), B(b,f(b))とする。また,点A,Bにおける曲線の法線をそれぞれl,mとする。ただし, 対数は自然対数とする。' (1)l,mの方程式を求めよ。 (2)l,mの交点をCとする。bがaに限りなく近づくとき,Cが近づく点C。のx座標は 2a+1/aであることを示せ. (3)(2)の点C。について,線分AC。の長さをLとする。aが正の値をとって変化するとき, Lを最小にするaの値を求めよ。 (3)の問題が分かりません。解答の回答宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分積分の質問です。
３次関数ｆ（ｘ）＝ｘ＾３＋aｘ＾２＋ｂｘ＋ｃはｘ＝１およびｘ＝－３で極値をとり、極小値は－５であるものとする。 （１）a,b,cの値を求めよ。 （２）点（０,c)で曲線ｙ＝ｆ（ｘ）に接する接線の方程式を求めよ。 （３）（２）で求めた接線と曲線ｙ＝ｆ’（ｘ）で囲まれた図形の面積を求めよ。 私は（１）は、ｆ（ｘ）は右肩上がりの３次関数だからｆ（１）＝－５、また、題意よりｆ’（１）＝０、ｆ’（－３）＝０で考えてa=-15/4,b=9/2,c=-27/4となりました。 （２）は、（１）で求めたものをｆ（ｘ）に当てはめて、そのｆ（ｘ）を微分し・・・と 接線はｙ＝(9/2)x-27/4となりました。 解答が省略されていてこれらの解があっているのかは、分かりません。 （３）は答えが｛37√（37)｝／２となっていたのですが、私の答えとは違っていて・・・。 （１）（２）からまちがっているのか、（３）を間違ったのかも分からないのですが、教えていただけると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分積分に関する問題なのですが、分かる方教えて下さい＞＜！
微分積分に関する問題なのですが、分かる方教えて下さい＞＜！ 曲線Cが極方程式 r＝ｆ(θ) (α≦θ≦β) で表わされる場合の曲線の長さＬを与える公式を 「x＝f(t)、y＝g(t) (a≦t≦b)の長さＬは、Ｌ＝∫b/a√[(dx/dt)~2＋(dy/dt)~2]dt＝∫b/a√[{f´(t)}~2＋{g´(t)}~2]dt」 という曲線の長さの公式を用いて導け。 ちなみに、 ∫b/a → ∫のｂからａまでの範囲 (dx/dt)~2 → (dx/dt)の２乗 √の中身は、[ ]で囲んだところまでです。 見にくくて申し訳ないのですが、よろしくおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 曲線の長さが０になる
極座標 r=a(1+cos_θ)(a>=0,0<=θ<=2π) l=∫(0->2π)√((dr/dθ)^2+r^2)dθ l=a*∫(0->2π)√(sin_θ^2+(1+cos_θ)^2)dθ l=√2*a*∫(0->2π)√(1+cos_θ)dθ l=(√2)^2*a*∫(0->2π)√(cos_θ/2)^2*dθ l=2*a*∫(0->2π)cos_(θ/2)*dθ l=4*a*(sin_(θ/2))(0->2π) l=0 となります。 解答は8aです。 どこが間違っていますか？ よろしくお願いします。 ちなみに、 l=2*4*a*(sin_(θ/2))(0->π) というのはわかります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題です。
曲線y=f(x)(0＜a≦x≦b)上の点Ｐ(t,f(t))(a＜t＜b)における接線をlとし、l上の点でそのx座標がt+1となる点をQとおく。原点をOとして、ベクトルOPとベクトルPQのなす角をθとする。次の問いに答えよ。 (1)cosθをtを用いて表せ。 (2)a=1/4,b=1,f(x)=√xのとき、θが最大となるtを求めよ。 (3)a=1/2,b=2とする。全てのt(1/2＜t＜2)についてベクトルOPとベクトルPQが直行し、f(1)=√3となるf(x)を求めよ。 という問題です。微分方程式は授業で習っておらず自力で勉強しています。解答がなく、解き方が分からないので教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分積分
(1)0≦x≦1で定義された連続関数f(x)が0≦f(x)≦1を満たすとする。このときf(c)=cを満たす定数c(0＜c＜1)が少なくとも1つ存在することを示せ。 (2)y=logxとy=ax^2(a≠0)のグラフが共有点をもち、かつその点で共有接線をもつものとする。このとき、aの値と共通接線の方程式を求めよ。 (3)曲線√x+√y=√a上の点(x0,y0)における接線がx軸、y軸と交わる点をそれぞれ(α,0),(0,β)とするとき、和α＋βの値を求めよ。 (1)と(3)はどのようにして示す(解答する)かがわからず、(2)はlogx=ax^2の解き方がわかりません。どうか、皆さんの力を貸してください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数II・微分積分
【問1】関数f(x)がf(x)=3x^2-x∫(1→0)f(t)dt+∫(0→-2)f(t)dtを満たす。 a,bを定数として、∫(1→0)f(t)dt=a…(1)、∫(0→-2)f(t)dt=b…(2)とおくと、(1)から、アa-イb=2、(2)からウa+b=エオが成り立つ。 したがってf(x)=3x^2+カx-キである。 【問2】2つの放物線y=-x^2+3x-2…(1)、y=x^2-(2a+1)x+2a…(2)がある。 ただし、a＞0とする。 (1)とx軸とで囲まれた部分の面積をS1とすると、S1=ア/イである。 また、(1)、(2)の交点のx座標はウとa+エであるから、(1)、(2)で囲まれた部分の面積をS2とすると、S2=a^オ/カである。 更にS2=2S1となるときのaの値を求めるとa=キである。 【問3】放物線C：y=x^2-2x上の点Pのx座標をt(t＞2)とする。 Pにおける接線をl1とし、原点OにおけるCの接線をl2とする。 このとき、l1の方程式はy=ア(t-イ)x-t^ウであり、l1とl2の交点をQとするとQのx座標はt/エ、l2およびCで囲まれた図形の面積S1はS1=t^オ/カキであり、2直線l1、l2とCで囲まれた図形の面積S2はS2=t^ク/ケコである。 ゆえに、S1：S2=サ：シである。
- 締切済み
- 数学・算数
