sin関数の積分

質問

F(a)=∫sin(ax)/x dx
を （x:a→a^2）まで積分するとき
dF(a)/daを教えてください。
簡単そうでいろいろ試したのですが解けませんでした。

あと、一つ確認したいのですが
周囲の長さが一定の二等辺三角形のうち、面積が最大になるのは
正三角形ですよね。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

rabbit_cat · ベストアンサー

いろいろ考えるのもまどろっこしいでしょうから、やり方を書きましょう。（こういう系統の問題は、初めてみたときにはかなりとまどうんですが、一度考え方を知ってしまえば次からは簡単にできます。）

F(a) = ∫_[a→a^2] sin(ax)/x dx
= ∫_[a^2→a^3] sin(y)/y dy
まではいいですか。（y=axと置換した）
次に、∫sin(y)/y dy の不定積分を G(x) と置きましょう。
ただし、G(x)の具体的な式は（高校範囲では）求められません。
G(y) = ∫sin(y)/y dy
すると、定積分の定義から
F(a) = G(a^3) - G(a^2)
です。すると
F'(a) = G'(a^3)×3a^2 - G'(a^2)×2a
です。また、G(x) は sin(y)/y の不定積分ですから
G'(y) = sin(y)/y
です。
というわけで、
F'(a) = sin(a^3)/(a^3)×3a^2 - sin(a^2)/(a^2)×2a
となります。

お礼

なるほど、ようやく理解できました。
丁寧なご回答、ありがとうございました。

回答No.3

rabbit_cat

求めたいのは、
dF(a)/da
なんですから、
積分したものを微分したら、もとに戻ることを考えれば
F(a)=∫sin(ax)/x dx
の積分を求める必要はありませんよ。
（そもそもこの積分は、高校範囲では不可能です）

回答No.2

rabbit_cat

高校生ですよね。
とすると、まず最初の一歩は、
F(a) = ∫_[a→a^2] sin(ax)/x dx
= ∫_[a^2→a^3] sin(y)/y dy
と置換積分して、積分の中身からaをなくすことですかね。
（大学生で、全微分を知っていれば、この変形をしなくても解けますが）

あとはできますか？

補足

すみません・・・。
∫ sin(y)/y dy
置換積分、部分積分をしてみたのですが、
そのものができません。
もう少し、積分をとくヒントをいただけないでしょうか？
お願いします。

回答No.1

info22

>単そうでいろいろ試したのですが解けませんでした。
あなたの方針で試した計算方法を途中計算を含めて書いて下さい。
その過程で詰まったことがあれば補足質問して下さい。

当方計算結果）
dF(a)/da={3sin(a^3)-2sin(a^2)}/a

>　周囲の長さが一定の二等辺三角形のうち、面積が最大になるのは
正三角形ですよね。
そうです。

補足

すみません、自分の書き込みに語弊があったと思います。
sin関数をtとおいて置換してみたり、部分積分してみたりしたのですが
どれも的外れの方法を利用しているので、最初の段階から詰まってしまいました。
まず、
F(a)=∫sin(ax)/x dx
の積分が出来ません。