経済数学の問題を教えてください

質問

ある国の人口モデルとして、ｘ年における人口ｙが関数
y=(x)y。e^0.02(x-x。)と表せる。ただし、基準年としてｘ。
年における人口y(0)がy。であるとする。

１．時間ｘに関する人口ｙの変化率ｄｙ/ｄｘをＹと表す、
　　瞬間的な人口増加の比率Ｙ／ｙをまとめよ。
２．現在人口ｙ（ｘ）と１年後の人口ｙ（ｘ＋１）とを比較し、一年間での平均的な人口増加率｛ｙ（ｘ＋１）／ｙ（ｘ）－１｝をまとめよ。
３．10年後の人口ｙ（ｘ＋１０）はｙ（ｘ）に対して何パーセント
増加すると予想されるか。
４・また2倍になるのはおおよそ何年後か。

回答No.1

noname#101087

[人口モデル]
　y(x) = yo*e^0.02(x-xo)

>１．時間ｘに関する人口ｙの変化率ｄｙ/ｄｘをＹと表す、瞬間的な人口増加の比率Ｙ／ｙをまとめよ。

・まともに勘定。
　Y = dy/dx = 0.02*yo*e^0.02(x-xo)
　Y/y = 0.02

・対数微分なら、LN(y) を x で微分。
　dLN(y)/dx = (1/y)*dy/dx = Y/y
モデルから、
　LN(y) = LN(yo) + 0.02(x-xo)
となり、
　dLN(y)/dx = 0.02

２．現在人口ｙ（ｘ）と１年後の人口ｙ（ｘ＋１）とを比較し、一年間での平均的な人口増加率｛ｙ（ｘ＋１）／ｙ（ｘ）－１｝をまとめよ。

　y(x+1) = yo*e^0.02(x+1-xo)
　y(x) = yo*e^0.02(x-xo)
　y(x+1)/y(x) = e^0.02　　　: 指数公式から。増分なら 1 引くんですね

>３．10年後の人口ｙ（ｘ＋１０）はｙ（ｘ）に対して何パーセント増加すると予想されるか。

　y(x+10)/y(x) = e^0.2　　　: 指数公式から
　パーセント比 = (e^0.2) * 100 (%)　　　: 増分なら 100 引くんですね

>４・また2倍になるのはおおよそ何年後か。

　e^(0.02x) = 2
から x を求めてみる。