足し算と掛け算の一致

質問

足し算を１から順に足していきます。
掛け算を１から順に掛けていきます。
和と積が一致するのは、下の例以外に存在するでしょうか？

例
１　＝　１

１＋２＋３　＝　１×２×３

１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５　＝　１×２×３×４×５

掛け算は２の倍数と５の倍数によって、下位の桁に０が続くことになることはわかります。

回答No.14

noname#101087 · ベストアンサー

>Brown Numbers の線を実験(by the poorest spreadsheet !)
>k*n! + 1 = m^2　　k = 1,2,3,4　の (n,m)

前回のバカでかい数値は、スプレッドシートの桁落ちによる解モドキ。
　　k*n! = q*(q+2)
の k : (n,q) に再トライ (n≦7)。

k=1 : (4,4), (5,10), (7,70)
k=2 : (4,6)
k=3 : (5,18)
k=4 : (3,4)
k=5 : (4, 10)
k=6 : ナシ
k=7 : (4, 12), (5, 28), (6, 70)
k=8 : (1, 2), (3, 6), (5, 30)
k=9 : ナシ
k=10 : ナシ

これでは、P(x) = n! には n > 7 の解は無さそう、という「予想」です。P(x) は 2次以上の整係数多項式。
　　↓
　http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf
>THE DIOPHANTINE EQUATION P(x) = n! ......

お礼

来週の水曜日までに、新たな回答がなければ、締め切りとさせていただきます。皆さん、ありがとうございました。

補足

ｎ＝２がないということ。
ｋを固定すると、ペアの数が２個のものが存在しないということ。

この二点が気になりました。

回答No.13

noname#101087

前へもどってみましょうかね。
　　↓
>m までの和と、n までの階乗が等しければ、
>　m = {SQRT(8*n! + 1)-1}/2

SQRT( ) の中身が平方数とする。
　8*n! + 1 = p^2
　8*n! = p^2 - 1 = (p+1)*(p-1)

これが成立するのは、(p+1), (p-1) ともに偶数の場合。
・n=1 : 8 = p^2 -1, つまり 9 = p^2, p=3 。
・n=2 : 16 = p^2 -1, つまり 17 = p^2, NG 。
・n=3 : 48 = p^2 -1, つまり 49 = p^2, p=7 。
・n=4 : 192 = p^2 -1, つまり 193 = p^2, NG 。
・n=5 : 960 = p^2 -1, つまり 961 = p^2, p=31 。
・n=6 : 5670 = p^2 -1, つまり 5671 = p^2, NG 。

この先は、いちいち勘定するに耐えません。一網打尽にできないものでしょうか。

補足

＞これが成立するのは、(p+1), (p-1) ともに偶数の場合。

これって、要するに、pが奇数であるということですよね。

回答No.12

noname#101087

閑話で失礼。

Brown Numbers の線を実験(by the poorest spreadsheet !)

k*n! + 1 = m^2　　k = 1,2,3,4　の (n,m)

k=1 : (4,5), (5,11), (7,71)
k=2 : (4,7), (28,780881994429009), .... ?
k=3 : (1,2), (5,19), (28,956381217838965)
k=4 : (2,3), (3,5), (27,208699491618148)

そもそも、勘定合ってますかね。

お礼

小さい桁は電卓で計算したら、合っていましたけど、大きい桁はわかりません。私の間違いでなければ、ｋ＝６のときは、小さい桁のペアは見つからないと思います。

疑問ですけど、どんなｋであっても、ペアは存在するのでしょうかね。

回答No.11

Mr_Holland

＃３／＃６／＃７です。
　arrysthmiaさん、「ケース３」を追加してくれて、ありがとうございます。
　ひょっとしたら、＃３／＃６の考え方はまだ望みがあるのかもと感じさせてくれます。
　しかし、素数冪の問題は難問です。
　（素数の問題には詳しくない私には特に・・・）

　ちなみに、空いた時間でＰＣに　178tallさんのアルゴリズムで計算させています。
　今のところ、

　　　＜　ｎ≦１８００　では　ｎ＝１，３，５以外の解はない　＞

ようです。

お礼

間違えました。
nが偶数でもケース３のときは、まだわかりませんね。

補足

nが偶数のときは、解がない。
nが奇数でケース１のときは、1,3,5以外に解がない。

ここまでは、正しそうですね。

だから、nが奇数のときのケース２とケース３を調べればよさそうですね。

回答No.10

settheory

＃１０です。

m=7　のは間違いです！初歩的な間違いをしてしまいました・・・申し訳ないです。

8m!+1に代入したときに、どういう奇数の二乗になっているかを書いただけです。

回答No.9

settheory

皆さんの回答と少し重複してしまうかもしれませんが。

1/2*n(n+1)=m! これをnの二次方程式と見て、解の公式をあてはめると、　「8m!+1が奇数の二乗」になることが、自然数の解が存在することと同値です。（8m!+1が奇数なので、平方数になればそうはなりますが。）

m=1 のとき　（2*1+1）^2 =3^2
m=3 のとき　(2*3+1)^2 =7^2
m=5 のとき　(2*15+1)^2 =31^2
m=7 のとき　(2*35+1)^2 =71^2　

となりました。（*の後ろの数字が解になります）m=9,11を電卓で平方根をとったら整数にはなりませんでした。奇数で成り立つのはこれしかないかもしれません。

mが偶数の時もどうなるかわかりません。最初の二つは素数になったのですが、その後もそうなるかは不明です・・

補足

ｍ＝７のときは、成り立たないと思うのですけど、私の勘違いでしょうか。もし、成り立つならば、大発見だと思います。

それから、示されている式は恒等式なのですが、どのように導出されたのか、わかりません。

回答No.8

arrysthmia

一番厄介なのは、ケース 3)
右辺の 1 ～ n の中の偶数にも、
素因数分解すれば奇数因子がある。
それを、左辺の奇数因子側に含めてもよい。
…という場合なんだけど。

これに注意して弱めた条件なら、
偶数だけでなく、一般の倍数にも適用できる。

2 (n !) の素因数分解に現れる各
素数巾は、左辺の形に分解する際、
m か m+1 の一方にまとめて含めねばならない。
m と m+1 は、互いに素だから。

さて、これが、どう使えるか…

回答No.7

noname#101087

似て非なる問題ですけど、Brown Numbers というのがあるそうで…。
　　n! + 1 = m^2

(厳密には解けてないらしい)
　(n, m) は、
　　(4,5), (5,11), and (7,71)
　の 3 ペアしかないだろう。
という予測(conjecture)があるんだそうです。

丸投げです。
反問はお控えください。

---------------------------------------------------
　http://en.wikipedia.org/wiki/Brocard%27s_problem
>Brocard's problem / Brown Numbers

Brocard's problem asks to find integer values of n for which
　　n! + 1 = m^2
where n! is the factorial.

Pairs of the numbers (n, m) that solve Brocard's problem are called Brown numbers.
There are only three known pairs of Brown numbers:
　　(4,5), (5,11), and (7,71).
Paul Erdos conjectured that no other solutions exist.

お礼

アドバイスありがとうございます。
（７，１１）のペアには気づきませんでした。

補足

間違えました。
（７，７１）のペアには気づきませんでした。

回答No.6

Mr_Holland

＃３です。
　＃４／＃５を拝見しました。

　確かに、偶数が　偶数×奇数　に分解できることを忘れていました。

　＃３／＃６の回答は忘れてください。

　ご指摘ありがとうございます。

回答No.5

Mr_Holland

＃３です。
　＃３に追記です。
　ｎが奇数（＝２ｋ＋１）の時ですが、「ケース１」については　ｋ＝０，１，２　（ｎ＝１，３，５）　以外に存在しないことが示されます。

　　ｇ（ｋ）＝（左辺の奇数）－（左辺の偶数）　とおきますと、

　　　　ｇ（ｋ）＝（２ｋ＋１）！！－２（２ｋ）！！　≧－１　（等号成立は　ｋ＝０，１，２のとき）

となり、ｇ（ｋ）が単調増加であることを考えると、|ｇ（ｋ）|＝１　となるのは、　ｋ＝０，１，２（つまり、ｎ＝１，３，５）の時しかないことが分かるからです。

　なお、ｎが奇数の時の「ケース２」については難問です・・・

　ちなみに、「８×ｎ！＋１が平方数になる」という問題は、結局元に戻って、＃３の式☆に行き着きますよ。

　　８×ｎ！＋１は奇数ですので、（２ａ＋１）^2　と置きます。

　　８ｎ！＝２ａ（２ａ＋２）
　∴２ｎ！＝ａ（ａ＋１）

となり、ａ＝ｍ　で式☆に帰着します。

回答No.4

arrysthmia

難しいね。
とりあえず、見当がつかない。

No.3 は、残念。
1 ～ n の中の偶数で、例えば 6 について、
2 を左辺の偶数に、3 を左辺の奇数に
掛けておくことができる。

お礼

なるほど。偶数も分解すれば、奇数成分と偶数成分になる、ということですね。