掛け算の9の段について

質問

こんxxは！
24歳の社会人です。

掛け算の9の段について質問させてください。
掛け算において9を掛けて出てきた答えの各桁を合計すると必ず9の倍数になるのは何故ですか？

プログラムで簡単に確認してみたところ、確認した全ての答えの各桁を合計した数字は必ず9の倍数となっておりました。
↓以下が簡単にではありますが確認したプログラムです。
http://codepad.org/ucZhtoEq

この各桁の合計が必ず9で割り切れるのは、すべての9*n(ただし0<n)において確かなのでしょうか？
それを証明するようなことはできますでしょうか？

よろしくおねがいします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

成り立つ。
例えば、9n が 3 桁の数で、各桁の数字が a,b,c
だったとすると、9n=100a+10b+c.
9n の各桁の数の合計 s は、s=a+b+c.
よって、9n-s=99a+9b だと判る。
右辺が 9 の倍数だから、左辺も 9 の倍数であり、
s は 9 の倍数となる。

9n の桁数を一般化すると、100a+10b+c の替わりに
Σ を使って書かなくてはならないが、
ややこしくなるのは式の見た目だけで、
やってる内容は変わらない。

お礼

ありがとうございます！
ここまで噛み砕いて説明していただければ完全に納得です！
9mの桁数の一般化から先は自分で考えてみたいとおもいます！
ありがとうございました！

回答No.3

tsubuyuki

さて・・面倒ですがちょっと解説しましょうか。

とりあえず、２桁の数字から。
２桁の整数はの十の位をａ、一の位をｂとすると、
「１０ａ＋ｂ」（ａ・ｂ共に自然数）と表すことが出来る。
（例：２７＝（１０×２）＋７、５３＝（１０×５）＋３　など）

この時、
１０ａ＋ｂ＝ａ＋９ａ＋ｂ
　　　　　＝９ａ＋（ａ＋ｂ）
９ａは９の倍数であるから、ａ＋ｂが９の倍数であれば、
元の２桁の整数「１０ａ＋ｂ」も９の倍数と言える。
よって、２桁の整数の各桁の合計が９の倍数であるとき、元の整数は９の倍数である

３桁の場合。
３桁の整数の百の位をａ、十の位をｂ、一の位をｃとすると、
「１００ａ＋１０ｂ＋ｃ」と表すことが出来る。

この時、
１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝９９ａ＋ａ＋９ｂ＋ｂ＋ｃ
　　　　　　　　　　＝９９ａ＋９ｂ＋（ａ＋ｂ＋ｃ）
９９ａ、９ｂは９の倍数であるから、ａ＋ｂ＋ｃが９の倍数であれば、（以下略）

（以下続行、ただし省略）

９ｎの形がお好みなら、
９（１１ａ＋ｂ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ）としてもＯＫです。
４桁なら
９（１１１ａ＋１１ｂ＋ｃ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）
５桁なら
９(１１１１ａ＋１１１ｂ＋１１ｃ＋ｄ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）
６桁なら（以下続行、ただし省略）

後ろの括弧内が９の倍数であれば、これらの式は９の倍数を表していると言える。
つまり、各桁の数の合計が９の倍数であれば、元の数は９の倍数と言える。

こんな感じで中１レベルで証明できます。
３の倍数についても同様です。

お礼

ありがとうございます！
更新のタイミングミスでこちらの解説を見る前にベストアンサーを選択してしまいました…申し訳ありません。
大変わかりやすい解説、本当にありがとうございます！
これで今夜はぐっすり眠れそうです！

回答No.1

Tacosan

10 を 9 で割ると 1余るから, だね.

お礼

ありがとうございます！
なんだか妙に納得してしまったのですが、数式などで証明することは出来るのでしょうか？