場合の数 数字Ａ

質問

２個以上の同じ数字を含む４桁の正の整数は何個あるか。また、その中で一組の隣り合う２つの数字だけが同じであるものは何個あるか。
という問題なんですけど、解説よんだら、４個の数字が全て異なるのは９×９×８＝４５３６とか載ってて訳分かんないです…
その式が分かれば９０００から引けばいいんですけど、なんでその式がでてきたのかもサッパリです。
あと、「また、」から始まる問題もよく分かりません…
９×９×８という式がでて来たかとおもえば、次の式には×３が足されてて。
因みに答えは４４６４、１９４４です。
この分野ほんと苦手なので、詳しく解説して貰えると助かります。。。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

まず、次の記述は誤記ですよね。
　　　「４個の数字が全て異なるのは９×９×８＝４５３６」
（正）「４個の数字が全て異なるのは９×９×８×７＝４５３６」

　４個の数字が全て異なる４桁の正の整数を、記号を使って、次のように表します。

　　○△□×

　さて、ここで、各桁が取れる数字の範囲を考えます。
　△、□、×は０～９で互いに異なる数字でなければなりません。
　しかし、最高桁の○は、この数が４桁になるためには、○は０ではいけませんので、１～９の△、□、×と異なる数字でなければならないことが分かります。
　そこで、各記号の取り得る場合の数を上の桁から考えてみますと、次のようになります。

　○：　１～９の数字　　　　　　　　　　　　　９通り
　△：　０～９のうち○とは異なる数字　　　　　１０－１＝９　通り
　□：　０～９のうち○と△とは異なる数字　　　１０－２＝８　通り
　×：　０～９のうち○と△と□とは異なる数字　１０－３＝７　通り

　従って、各桁がすべて異なる数字でできる４桁の整数は
　　９×９×８×７　＝　４５３６　通り
となります。
　あとは、４桁の整数は　９９９９－９９９＝９０００　通りありますので、これから引いて　４４６４　通り　と求めれば良いのです。

　「また」以降の問題ですが、これも記号を使って表すと、次の３つのパターンに分けることができます。

　　○○△□　　△○○□　　△□○○

　このそれぞれにパターンについて、取り得る場合の数を考えてみます。

１）　○○△□の場合
　　○：　１～９の数字　　　　　　　　　　　　　９通り
　　△：　０～９のうち○とは異なる数字　　　　　１０－１＝９　通り
　　□：　０～９のうち○と△とは異なる数字　　　１０－２＝８　通り

　　９×９×８　通り

２）　△○○□の場合
　　△：　１～９の数字　　　　　　　　　　　　　９通り
　　○：　０～９のうち△とは異なる数字　　　　　１０－１＝９　通り
　　□：　０～９のうち○と△とは異なる数字　　　１０－２＝８　通り

　　９×９×８　通り

３）　△□○○の場合
　　△：　１～９の数字　　　　　　　　　　　　　９通り
　　□：　０～９のうち△とは異なる数字　　　　　１０－１＝９　通り
　　○：　０～９のうち□と△とは異なる数字　　　１０－２＝８　通り

　　９×９×８　通り

　以上の３パターンについて足し合わせると、次のようになります。

　　９×９×８×３　＝　１９４４　通り

　なお、上記では１パターンずつばらして考えましたが、○○の部分をひとまとまりと見ることができれば、すべて数字の異なる３桁の正整数の場合の数にパターン数（３）を掛けて求めることができます。
　この場合も、式は同じで、次の式で求めることになります。

　　９×９×８×３　＝　１９４４　通り

回答No.3

relentless

訂正
2の者です。

9×9×8×7=4536でした。

回答No.2

relentless

２個以上の同じ数字を含む４桁の正の整数は何個あるか。
千の位に入る数は0以外の9通。
そのそれぞれについて百の位には千の位の数以外の9通り、十の位には千の位・百の位の数以外の8通り、一の位には千の位・百の位・十の位の数以外の7通り。
9×9×8×7=4464（4個の数字が全て異なる）
9000というのは4桁の正の整数全体（1000～9999）のことです。
よって（全体）－（4個の数字が全て異なる）とすれば2個以上の同じ数字を含む4桁の正の整数の個数がでてきます。

また、その中で一組の隣り合う２つの数字だけが同じであるものは何個あるか。
隣り合う2つの数字をひとつにまとめるだけです。
また隣り合う2つの数字は、千の位・百の位、百の位・十の位、十の位・一の位の3通りありますので9×9×8×3=1944となります。