数学のあまり難しくない問題です

質問

a分の１+b分の１+c分の１=１ 、 a≦b≦c を満たす自然数 a、b、cの組を全て求めなさい。
という問題です。式変形等やってみたのですが、できません。まず何からやるべきかもわかりません。教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.4

cfv21 · ベストアンサー

整数の問題では、全数チェックが基本です。
ですが、整数は無限にあります。無限にあるものを相手にするわけには行きません。
そこで、まず最初にすることは、「全数チェックをする範囲を絞ること」になります。

その際に重要なのが、a≦b≦cという条件です。
何でもない条件に見えますが、これを利用して、全数チェックの範囲を極力狭くなるように絞るのです。

1/a，1/b，1/c
が出てくるので、これの大小関係を調べると、a≦b≦cなので、
1/a≧1/b≧1/c　・・・(1)
です(逆数にすると、大小が逆になる)。
このうち、最も大きな、1/aに目をつけます。
(1)より、
1/a＋1/b＋1/c≦1/a＋1/a＋1/a＝3/a
ですが、この左辺は、
1/a＋1/b＋1/c＝1　・・・(2)
です。従って、
1≦3/a
となり、a≦3でなくてはいけません。つまり、a＝1，2，3の3通りしかありえないのです。
無限の可能性のあるものが、わずか3通りに絞られます。

(2)で、a＝1にしてしまうと、b，cのとりようがないので、a≠1です。

(2)で、a＝2とすると、
1/b＋1/c＝1/2　・・・(3)
1/b＋1/c≦1/b＋1/b＝2/b
従って、
1/2≦2/b
となり、b≦4，つまり、a≦bなので、b＝2，3，4に限られます。
(3)より、b＝2ではcのとりようがないので、b≠2
b＝3のとき、c＝6
b＝4のとき、c＝4

(2)でa＝3にすると、
1/b＋1/c＝2/3
上記と同様にして、b＝3に限られ、このとき、c＝3です。

よって、(a，b，c)＝(2，3，6)，(2，4，4)，(3，3，3)

この問題は、論述まで含めると、「難しくない」とは言えません。

お礼

凄く分かりやすかったです。
ありがとうございます！