部分分数

質問

1/k(k+1)(k+2)
を部分分数にするとどのようになるのでしょうか？
解法も一緒に答えていただけると助かります

回答No.2

cfv21

1/(x(x＋1)(x＋2))を積分するのであれば、回答No.1の通りですが、文字がkなので、ひょっとして、
Σ1/(k(k＋1)(k＋2))の求和の問題であれば、
1/(k(k＋1))－1/((k＋1)(k＋2))
＝(k＋2)/(k(k＋1)(k＋2)－k/(k(k＋1)(k＋2))
＝((k＋2)－k)/(k(k＋1)(k＋2))
＝2/(k(k＋1)(k＋2)
なので、
1/(k(k＋1)(k＋2))＝(1/2){1/(k(k＋1))－1/((k＋1)(k＋2)}
と変形します。

n
Σ1/(k(k＋1)(k＋2))
k＝1

であれば、
(1/2){1/(1×2)－1/(2×3)＋1/(2×3)－1/(3×4)＋・・・・・・＋1/(n(n＋1))－1/((n＋1)(n＋2))}
＝(1/2){1/(1×2)－1/((n＋1)(n＋2))}
＝(n(n＋3)/(4(n＋1)(n＋2))
となります。