数学の問題です

質問

放物線y=x^2+ax+bがx軸と相異なる２点P、Qで交わり、y軸と点Rで交わっているとする。
ただしb≠0とする。
３点P,Q,Rを通る円の方程式を求めよ。

円束の問題だと思うのですが・・・
P,Qを通る円の方程式がR(0,b)を通るように設定するとうまくいきませんでした；

どなたかご教示願います

回答No.5

cfv21

No.1～No.4の回答に補足します。

No.1の回答で、求める円の中心が放物線の軸上に来ることに着目していますが、これは、放物線とx軸との2交点の垂直二等分線上に円の中心が来ることに着目しているわけです。
であれば、x軸との交点とy軸との交点の垂直二等分線上に円の中心が来ることにも注目すべきで、2本の垂直二等分線の交点として円の中心を求める、という、発想法を覚えて頂きたいと思います。
この発想法は、難問と言われている京大の2009年乙[２](河合塾と代ゼミの解答ではなく、駿台と雑誌「大学への数学」4月号の解答を参考にしてください)においても有効な発想法です。

放物線：y＝x^2＋ax＋b
とx軸との交点のx座標は、
x^2＋ax＋b＝0　・・・・・・(1)
の2解α，βです。もちろん、相異2実数解をもつために、a^2－4b＞0です。

放物線の軸：x＝－(a/2)は、放物線とx軸との2交点を結ぶ線分の垂直二等分線で、求める円の中心はこの垂直二等分線上にあります。
また、円の中心は、放物線と、x軸との交点(α，0)，y軸との交点(0，b)を結ぶ線分の垂直二等分線：
y＝(α/b)(x－(α/2))＋(b/2)
＝(α/b)x－(α^2－b^2)/(2b)　・・・・・・(2)
上にもあります。従って、両垂直二等分線の交点が円の中心となり、(2)でx＝－(a/2)として、円の中心のy座標は、
y＝(α/b)(－a/2)－(α^2－b^2)/(2b)＝(b^2－aα－α^2)/(2b)　・・・・・・(3)
ここで、αは2次方程式(1)の解なので、
α^2＋aα＋b＝0
∴ －aα－α^2＝b
よって、(3)は、
y＝(b^2＋b)/(2b)＝(b＋1)/2
となり、求める円の中心は(－(a/2)，(b＋1)/2)です。円の中心と(α，0)，放物線の軸：x＝－(a/2)とx軸との交点、の3点を頂点とする直角三角形に三平方の定理を適用して、円の半径の2乗r^2は、
r^2＝(√(a^2－4b)/2)^2＋((b＋1)/2)^2＝(a^2＋(b－1)^2)/4
(x^2の係数が1の2次関数のグラフ(放物線)がx軸と2交点で交わるとき、放物線がx軸から切り取る線分の長さは√(判別式)です)
よって、求める円の方程式は、
(x＋(a/2))^2＋(y－(b＋1)/2)^2＝(a^2＋(b－1)^2)/4

どちらが速いか、解法の優劣というようなことではなく、垂直二等分線、という発想法を身につけて頂きたいと思います。