この式の意味がわかりません

質問

「初速度がv0である物体が，加速度aで等加速度直線運動をする場合について，時間tだけ経過したときの速度と変位xを考えてみよう．」
と教科書にありました．その後に
v=v0+at
x=v0*t+at＾2/2
この２つの式はわかるのですが，次に
「これらの式から時間tを消去すれば，速度と変位の関係式が得られる．」
とあり，
v＾2-v0＾2=2axとありました．

Ｑ．tを消去したのにこの関係式は成り立つのですか？

回答No.4

cfv21 · ベストアンサー

多分、質問の趣旨は、tが出てこない式では、左辺と右辺が時間経過により変化しない、ということになってしまうのではないか、というようなことを気にしているのだろうと想像します。

もちろん、左辺の、v^2－v0^2も2axも、ともに時間経過により変化するのです。変化するのですが、v^2－v0^2も2axも、変化しつつも、どの時刻においても、等しい値になっている、と、言っているのです。

こういう質問が出てくるのは、現行の高校物理の教科書が、「ゆとり教育」の悪弊により、物理法則から公式を導く、ということをほとんど諦めてしまい、天下り式に公式として覚えろ、と、高校生に強制していることが背景にあるのだろうと思います。
電磁気に出てくる公式では、高校数学の範囲で導くのは無理なものがありますが、力学関係では、円運動や万有引力を除いて、ちょっとした微積を使えば、簡単に納得のいくものがほとんどです。

ここでは、一応、
v＝v0＋at　・・・・・・(1)
x＝x0＋v0・t＋at^2/2　・・・・・・(2)　(高校物理の教科書ではx0を省いていますが、x0をつけて公式とするべきです)
から、第３の公式を導いておきます。
(1)より、at＝v－v0　・・・・・・(3)
(2)×2aより、
2a(x－x0)＝2av0・t＋(at)^2＝(at)(2v0＋at)　・・・・・・(4)
(3)を(4)に代入して、
2a(x－x0)＝(v－v0)(2v0＋v－v0)＝(v－v0)(v＋v0)
s＝x－x0として、
v^2－v0^2＝2as
x0は、時刻t＝0における物体のx座標、sは、時刻t＝0から時刻tまでの物体の変位です。

お礼

ありがとうございます．
tの値がどんなときでも成り立つのですね．
公式の出し方がわかって覚えられました．
これからもよろしくお願いします．

回答No.5

sanori

こんにちは。

＞＞＞Ｑ．tを消去したのにこの関係式は成り立つのですか？

成り立ちます。
ｔを消去できたということは、ｔに関係なく成り立つ式だということができます。

ちなみに、
どこかで見た式だと思いましたら、１ヶ月半前に下記のＱ＆Ａで回答していたのでした。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4829262.html

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

ありがとうございます．
ということはtの値が何であっても成り立つのですね．
もう一つの質問も役に立ちました．
これからもよろしくお願いします．

回答No.3

Willyt

二つの式をＶとｔに関する連立方程式だと考えられますよね。それではこれを解くにはどうしますか？　Ｖを求めるにはｔを消去するでしょう。それをやった結果がv＾2-v0＾2=2ax　なのですよ。ちゃんと成立しているじゃないですか。

お礼

ありがとうございます．
連立させたときにtを消去すると考えればいいのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.2

carvelo

成り立ちます。

等加速度直線運動をする限り、経過した時間によらずいつでも成り立つ式です。元の二つの式において、時間tはパラメータ（媒介変数）だ、といえます。２つの式からパラメータを消去して、というのは数学でもやったことがあるでしょう。

ちなみに、この式
v＾2-v0＾2=2ax
は、エネルギー保存則の特別な場合（を変形したもの）だ、と見ることもできます。

両辺に(1/2)mをかけて
(1/2)mv^2-(1/2)mv0^2=max
ここで運動方程式からma=F（なお、今aは一定だからFも一定です）だから
(1/2)mv^2-(1/2)mv0^2=Fx
この左辺は運動エネルギーの変化、右辺は一定の力Fを加えて、その向きに物体を距離xだけ移動させたときの仕事です。

この
（運動エネルギーの変化）＝（仕事）
の関係式は、実は力Fが時間変化するときにも成り立ち、エネルギー原理と呼ばれたりします。何もしてないのに物体の速さ（運動エネルギー）が変わることはないですよ、速さ（運動エネルギー）が変わったなら、必ずどっかからエネルギーを（仕事として）もらっているんですよ、ということを表すエネルギー保存則の一種です。

お礼

ありがとうございます．
この式はエネルギー保存則にも応用できるときがあるのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

sawa001

その関係式がt抜きで成り立たないというのなら、
初速度v0の物体が等加速度aで距離x移動する時間tは1つの値を取らない、ということになります。そんなことはないですよね。

お礼

ありがとうございます．
そう考えると，成り立つのですね．
これからもよろしくお願いします．