工業力学問題

質問

工業力学の問題ができないです。。。解き方を教えてください！！

図に示すように静止の状態にある物体にt=0、からt=8.0sまでは次式で与えられる加速度a(m/s^2)が働き、
a=-0.2(t-8)t+3t/8・・・・・(a)
t=8.0sからt=15.0sまでは、次式で与えられる加速度a(m/s^2)が働いた。
a=3.0・・・・・・(b)
t=15.0sまでに物体が動いた移動距離x15を求めよ。
【ヒント】
初期条件(t=0→x=0,u=0)を用いて0≦t≦8の速度、u、変位xを決める。t＝8の速度u8と変位x8は与えられたので、8≦t≦15に対しての速度uと変位xを初期条件(t=8→x=x8,u=u8)を用いて解く。
【解答】
x15=377.3m

お願いします！！

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

加速度(時間ｔの関数)を、経過時間で積分すると、速度(時間の関数)が得られる。
　速度を、経過時間で積分すると、変位(時間の関数)が得られる。
つまりは、積分計算の練習問題に帰着します。
あとは、【ヒント】に書かれているとおりの順序と注意事項に従って計算します。

ｔ＝０～８[s]の区間と、ｔ＝８～１５[s]の区間では、運動が全く違いますので、２つの区間に分けて考えます。

(1)　０～8.0[s]までの区間
　加速度ａ＝-0.2(t-8)t+3t/8
ですから、これをｔで積分すれば、速度ｕの関数が得られます。関数ａを、ちょっと変形して
　ａ＝－(1/5)・ｔ^2＋(79/40)・ｔ
∴ｕ＝∫(－(1/5)・ｔ^2＋(79/40)・ｔ)dｔ
　　＝－(1/15)・ｔ^3＋(79/80)ｔ^2＋Ｃ
積分定数Ｃを忘れてはいけません。注意しましょう。
ただ、ｔ＝０で、ｕ＝０ですから、
　０＝－(1/15)・0＋(79/80)・0＋Ｃ
となり、Ｃは０となってしまいますが…
∴ｕ＝－(1/15)・ｔ^3＋(79/80)ｔ^2
変位ｘは、このｕをｔで定積分(積分区間は、ｔ＝０～８)すれば得られます。
　ｘ＝∫[0..8]{－(1/15)・ｔ^3＋(79/80)ｔ^2}dｔ
　＝{－(1/60)・8^4＋(79/240)・8^3}
　＝1504/15[m]
これが、ｔ＝０～８[s]の区間での移動距離です。

(2)　８～１５[s]の区間
明らかに等加速度運動(更に、ｘ軸上の運動に限定されているのでしょうから、等加速度直線運動)ですから、変位ｘは、手っ取り早く、等加速度直線運動の公式を使って
　ｘ＝ｕ0・ｔ＋(1/2)・ａ・ｔ^2
　(ここで　初速度ｕ0 は、区間の初めにおける速度、つまり時刻８[s]における速度)
ですから、(1)で求めた式を使って
　ｕ0＝－(1/15)・8^3＋(79/80)・8^2＝436/15
また、この区間での経過時間ｔ＝15-8
ですから
　ｘ＝(436/15)・(15-8)＋(3/2)・(15-8)^2
　　＝8309/30[m]

問題で要求されている総移動距離ｘは、０～８[s]での移動距離　1504/15[m] に、8309/30[m]を加えた量ですから
　ｘ＝(1504/15)＋(8309/30)
　＝11317/30[m]

なお、解答に当たっては、有効数字を気にして答えるべきなのでしょうが、問題文からでは、有効数字を何桁とすべきかが必ずしも明瞭ではありませんでしたので、途中経過は分数で表現しておきました。ただ、
　>8.0sからt=15.0sまでは、次式で与えられる加速度a(m/s^2)が働いた。
　>a=3.0・・・・・・(b)
　>t=15.0sまで
などと書かれているのから判断すると、有効数字は２桁とするのが妥当かと思います。
それなら、途中での計算は、１桁多い有効数字３桁の数値としておいて計算を継続し、最終的な答では、有効数字２桁にすれば良いでしょう。

お礼

めっちゃわかりやすかったです！
ありがとうございます！