果たしてこれは成り立つのか？

質問

果たして以下は成り立つのだろうか？
「(n×n)型行列P[1],P[2],P[3],・・・・P[n]に対して、
括弧()をどのような方法でくくっても
行列の積P[1]P[2]P[3]・・・・・・P[n]は一意的に決定する。すなわち
P[1]P[2]P[3]・・・・・・P[n]=(P[1]P[2])(P[3]・・・・・・P[n])
　　=(P[1]P[2])P[3](・・・・・・P[n])
=P[1]P[2](P[3]・・・・・・P[n-1])P[n]
=・・・・・・」

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

>で、結局質問した命題は成り立つと言ってるのですか？

ちょっと頭使えばわかりそうなもんだがなぁ・・
No.3さんの言うとおり成立する．
結合法則が成り立たなかったら，そもそも「三つ以上の積」ってのを
気楽には表記できないでしょう？
積の順番で結果が違うんなら
ABCって書かれても
(AB)CなのかA(BC)なのかわからないでしょう？
＃実際，結合法則が成り立たないものは存在する

証明そのものは自明とはいわんが，簡単な部類．
ざっくりしてみるか．
n=3のときは結合法則
3<n<=k-1 で成立するとする
n=kとする
どんな順番で括弧をつけても，
(・・・((P[1]P[2])P[3])P[4]・・・)P[k] ・・・(1)
に等しくなることを示せばよい．
どのように括弧をつけても，(1)以外は，次のようにあらわせる
(2)*(3)
ただし
（P[1]からP[i]までの適当な括弧をつけた積） ・・・(2)
（P[i+1]からP[n]までの適当な括弧をつけた積）・・・(3)
とする．
(2)は帰納法の仮定より
(・・・((P[1]P[2])P[3])P[4]・・・)P[i]・・・(4)
とできる．
(3)についても帰納法の仮定より
P[i+1](p[i+2](・・・(P[k-1]P[k])・・・))・・・(5)
とあらわせる，ここで(2)*(3)を(4)と(5)を用いて，
適宜置き換えをして表記すると
(X * P[i])*Y
Y=P[i+1] * Z
とできる．
(X * P[i])*Y = X * (P[i] * Y)
= X * (P[i] * (P[i+1] * Z))
= X * ((P[i]*P[i+1])*Z)
= (X * (P[i]*P[i+1])) * Z
= ((X * P[i]) * P[i+1]) * Z
= (((・・・((P[1]P[2])P[3])P[4]・・・)P[i])P[i+1])*Z
ここで，P[i+1]が最初の方に移動していることに注意する．
以下，同様にして，Zの中の因子を一つずつ移動させればよい．
よって，括弧のつけ方に依存しない

お礼

返事おそくなりましたが、証明でよく分かりました。ありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

成り立ちます。
一瞬、無限積の話かと思い、頭を抱えましたが、
n が有限なら、雑作もない。
成り立つ理由は、No.2 にあるとおり。

回答No.2

kabaokaba

「結合法則」(AB)C=A(BC)っていうやつを知ってますか？
これと数学的帰納法を巧みに組み合わせると・・・
＃代数の演習でやった気がする．
＃行列に限ることではなく結合法則があれば・・・

補足

で、結局質問した命題は成り立つと言ってるのですか？

回答No.1

koko_u_u

>(n×n)型行列P[1],P[2],P[3],・・・・P[n]に対して、

行列の次元数 n×n と、行列の個数 n が同じ数に合わせてあるのには理由があるのですか？補足にどうぞ。

補足

全く関係ありません。書き方が悪くてすみませんでしたが、
(k×k)型の行列として考えてください。