素数について

質問

次のことについて教えてください。

イ：負の数に素数があるか
ロ：複素数の中に素数はあるか

学校で友達とこういう話になり、友達はロについては「虚数の中に素数がある
というのが間違っていると思う」という答えでした。私はイについてもロにつ
いても存在すると思います。理由はありません。直感です。

現在高校生ですが、説明や考え方が高校の範囲を超えていても構いません。是非教えてください。
宜敷御願い致します。

回答No.3

proto · ベストアンサー

イ：について、
素因数分解の一意性を保証したいのならば、素数は正数の範囲で考える方が良いと思う。
例えば
　　6 = 2*3 = (-2)*(-3)
と二通りに素因数分解出来てしまう。
また、
　　6 = (-1)*2*(-3)
などと考えればさらに分解できることになる。
負の数の素因数分解の問題は別に考えるとしても、素数は正数に限る方が良いと個人的に思う。

ロ：について、
a,bを整数、iを虚数単位として、
　　a+b*i
をガウスの複素整数と呼ぶ。
この複素整数の考えを用いれば、複素数の範囲で素数を考えることが出来る。

(以下、複素整数のことを単に"整数"と書く)
まず、整数は和、差、積について閉じている。
すなわち整数同士の和、差、積は、また整数である。
しかし、商に関しては整数同士の商は必ずしも整数ではない。

これによって割り切れるという概念を複素整数の範囲に拡張できる。
α/β=γが整数であるとき、αはβで割り切れるといい、逆に
　　α = β*γ
が成り立つ。

さて整数αが整数β,γを用いて
　　α = β*γ
と書けるとき、αは分解可能といい、β,γはαの約数であるという。
逆に整数αが別の整数を用いて分解可能でないとき、αを素数(複素整数中の素数)と呼ぶ。

ここで複素整数の絶対値の2乗をノルムと呼び、N(α)と書くと、N(α)は整数で、
　　α = β*γ
　　N(α) = N(β)*N(γ)
となる。
このことより、αが素数の時には、N(α)もまた素数でなければならない。

例を挙げれば、
　　N(1+i) = 1^2+1^2 = 2
だから1+iは素数。
　　N(2+i) = 2^2+1^2 = 5
だから2+iは素数。

また、普通の実数の素数において、1は素数でも合成数でもないと習ったと思います。
同様に複素数の範囲では1,-1,i,-iが素数でも合成数でもない整数で、単数と呼びます。

ちなみにmを平方数を因数に持たない整数、a,bを任意の整数としたとき
　　a+b*√m
全体の集合を二元体と呼びます。
今回書いた複素整数はm=-1の場合です。

お礼

どうやらロについての私の直感は当たっていたようで、こういう閃きがあると
俄然やる気になります。有難う御座いました。

回答No.4

zk43

素数はありませんが、抽象的な代数では素元という考えがあります。
ロに関しては、ガウスの整数環というのがあります。
これは、a+bi（a,bは整数、iは虚数単位）の形の数全体の集合です。
要するに、ガウス平面（複素平面）の格子点全体の集合です。
たとえば5は普通の整数としては素数ですが、この集合で考えると、
5=(2+i)(2-i)と分解されて、素元ではなくなります。
一般に、4で割って1余る素数は、ガウスの整数環では、素元ではなくなります。
（4で割って1余る素数pは、p=a^2+b^2と、二つの整数の平方和で表わす
ことができ、p=(a+bi)(a-bi)と分解される。）
詳しくは、環、整域、素元、ガウスの整数環などのキーワードで検索
すると良いと思います。
高校生では、難しいかも知れませんが、意欲があれば、群論の初歩から
勉強されるのも良いかと思います。

お礼

鍵となる単語まで紹介していただきました。
有難う御座いました。

回答No.2

info22

以下のURLをご覧下さい。
素数とは
「1とその数自身以外に正の約数がない、つまり1とその数以外のどんな自然数によっても割り切れない、1 より大きな自然数のこと。」
と定義されています。

イ、ロとも間違い。したがって負数や複素数の中に素数は存在しない。
というのが答えです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/html/prime.html
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m3prime2.htm

回答No.1

unchikusai

そもそも素数の定義が「1とその数以外のどんな自然数によっても割り切れない、1 より大きな自然数」なので、イもロも定義から外れています。