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証明問題について
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f(x) = x^3 + 3x + 7 とおく。 f(-2) = -7, f(-1) = 3 より、 -2 < x < -1 に、解を持つ。 一般に、f(x)が連続で、f(a) * f(b) < 0 のとき、 f(x) = 0 は a < x < b に解をもちます。 グラフを書いてみれば明らかでしょう。 もうちょっと一般化して、次が成り立ちます。 f(x) を[a, b]で連続な関数とし、f(a) < k < f(b) とすると、f(c) = k となる c が a < x < b に存在する。 これを、中間値の定理と言います。
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- rnakamra
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実数係数の3次方程式には必ず実数解が存在します。 3次多項式f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,a>0とすると f(x)→-∞(x→-∞),f(x)→+∞(x→+∞)であり、適当なx1,x2を持ってくると f(x1)<0,f(x2)>0とすることができます。 f(x)は全ての実数xに対して連続であるので中間値の定理からf(x3)=0,x1<x3<x2となるx3が必ず存在します。
- info22
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f(x)=x^3+3x+7とおけば f(x)は実数領域で連続関数であり f(-2)=-8-6+7=-7<0 f(0)=7>0 なので -2<x<0の間にf(x)=0となる実数xが存在する。 と言えるのでは。。。 なお、実数解は１つ（他の２つは共役複素数解になる）ですが カルダノの公式 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F を使って出せます。 x={(√(53)-7)^(2/3)-2^(2/3)}/{2√(53)-14}^(1/3)≒-1.40629
お礼
カルダノの公式は初耳でした。
- chiropy
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x=√3も x=-7 or √(-7)=√7i のどちらも与式を満たさないので解でないと思うのですが… 解がx=√3、-7 はどうやってだしたのですか？
- Mr_Holland
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f(x)＝x^3+3x+7 と置いたとき、f(x)は連続関数であり、 f(-1)＝3＞０、 f(-2)＝-7＜０ と、ｘ＝－１とｘ＝－２の間でf(x)の符号が反転するので、方程式f(x)＝０は、－１と－２の間に実数解を持つということではいけないのでしょうか。 ちなみに、実解は次のように面倒なものになります。 x＝(√53/2-7/2)^(1/3)-1/(√53/2-7/2)^(1/3) ≒-1.406287579960535
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