3つのベクトルが張る平面

質問

3 つの縦ベクトル(1,1,2),(3,2,5),(5,-3,2)が張る平面
{α(1,1,2)+β(3,2,5)+γ(5,-3,2)|α,β,γ∈R}
を表す方程式を求めよ。

という問題を出されたのですが「α,β,γ∈R」であれば答えは3次元空間全体にはならないのでしょうか。

そして、よく分からず専門の知り合いに尋ねたところ、

(1,1,2)と(3,2,5)との両方に垂直なベクトルとして(1,1,-1)がとれ、(1,1,-1)と垂直で原点を通る平面は「x+y-z=0(答え)」

という回答が返ってきました。
これも(5,-3,2)を使っていないし、最後の部分の意味がよく分かりませんでした。

どなたかご教授いただけませんでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

この問題では、３つのベクトルが線形従属になってます。縦ベクトルを３つ横に並べて3行3列の行列Aを作り、その行列式 |A| を計算すると0になるでしょ。つまり、これら３つのベクトルはひとつの平面P上にあって、しかもその平面Pは原点を通る。なので、問題はたとえば「(1,1,2)と(3,2,5)と(0,0,0)を通る平面P（そのような平面Pは自動的に(5,-3,2)も通る）を求む」と言い換えることが出来ます。かくて「専門」の方の解法が出てくる訳です。
　別の解法として、単に(1,1,2), (3,2,5), (5,-3,2)が張る「空間の方程式」
(x,y,z)'= A (α,β,γ)'
を考えても同じ結果が得られます（'は転置）。|A|=0なので、実は空間を張ってないんですね。α,β,γが消去できてx,y,zの関係式が残る。

お礼

なるほど、ありがおとうございました！
線形代数を習った1時間目からこの問題を出されたので、行列式などを全く理解していませんでしたが、なんとか調べて理解できました＾＾
丁寧な解答ありがとうございました。