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ベクトルの問題
sansuusikiの回答
これは、ベクトル計算だけで答えを出すのは難しい問題ですね。 しかし、図形だけで答えを出すのも、一般的な解法にならないので なやましい問題です。 <先ず、図形で考えること> (1)OA↑+OB↑≠0の場合は、 点Oから、べくトルOA↑+OB↑の位置にある点をDとすれば、 点OからOD↑+OC↑の位置にある点をEとすれば、 |OE↑|=1 が条件なので、点Eは円の上にあります。 DE↑=OC↑ですから、DE↑の長さは1です。 Dから長さ1の距離で円Oに交わる点は、AかBしかありません。 そのため、(OC↑=)DE↑は-OA↑かあるいは-OB↑です。 すなわち、CAが円の直径になるか、CBが円の直径になります。 円の直径を一辺にする三角形は直角三角形です。 (2)OA↑+OB↑=0になる場合もあることを考えます。 この場合はABが円の直径になります。 円の直径を一辺にする三角形は直角三角形です。 <ベクトル計算だけで答える> この解法を知りたいのでしょう。 この解法の1つは、以下のようになります。 問題の条件から、 (OA↑+OB↑+OC↑)・(OA↑+OB↑+OC↑)=1 (記号・は、ベクトルの内積を意味する) です。 点A、B、Cが円の上にあるから、 (OA↑)・(OA↑)=1 (OB↑)・(OB↑)=1 (OC↑)・(OC↑)=1 も条件です。 0=(OA↑+OB↑+OC↑)・(OA↑+OB↑+OC↑)-1 =-1+(OA↑)・(OA↑)+(OB↑)・(OB↑) +(OC↑)・(OC↑) +2(OA↑)・(OB↑)+2(OB↑)・(OC↑)+2(OC↑)・(OA↑) =2 +2(OA↑)・(OB↑)+2(OB↑)・(OC↑)+2(OC↑)・(OA↑) =2(OB↑)・(OB↑) +2(OA↑)・(OB↑)+2(OB↑)・(OC↑)+2(OC↑)・(OA↑) =2(OB↑+OA↑)・(OB↑+OC↑) よって、 0=(OB↑+OA↑)・(OB↑+OC↑) が得られます。 この式が成り立つということは、 (OB↑+OA↑)と(OB↑+OC↑)が直交するか、 (OB↑+OA↑)=0か (OB↑+OC↑)=0か の3つしかありません。 この3つの場合を分けて考えます。 (1) (OB↑+OA↑)と(OB↑+OC↑)が直交するということは、 (OB↑+OA↑)に直交する線ABと、 (OB↑+OC↑)に直交する線BCと が直交することを意味します。 すなわち、三角形ABCは直角三角形です。 (2) (OB↑+OA↑)=0ということは、 ABが円の直径であるということです。 円の直径を一辺にする三角形は直角三角形です。 (3) (OB↑+OC↑)=0ということは、 BCが円の直径であるということです。 円の直径を一辺にする三角形は直角三角形です。
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