関数の形

質問

下記のサイトでハート型の式を見ました。
http://gazosouko.blog63.fc2.com/blog-entry-317.html

(x^2 + y^2 - 1)^3 = x^2 y^3
という式ですが、どうすればこの式がハート型だということが分かるのでしょうか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
失礼しました。
質問の関数は「3D-GRAPES」ではなく
「GRAPES」の陰関数でのプロット機能で描きます。
(x^2+y^2-1)^3=x^2*y^3
の式をそのまま入力すればいいですね。
（「3D-GRAPES」は３次元曲面や３次元での平面や曲線・直線を描くのに便利な描画ソフトです。）
ハート型曲線の形を確認しましたか？

>式から論理的に概形を知る方法はないものでしょうか？
x=h(y)やy=g(x)のような陽関数の形に出来ませんから、難しいでしょう。

>微分して傾きが0になるところを探すなどはやってみたのですが、
>なかなかうまくいきませんでした。
f(x,y)=x^2*y^3-(x^2+y^2-1)^3
とおいて
f(x,y)=0とf_x(x,y)=0
を連立にして交点の座標を解けば
yが最大になる座標点(±0.5145,1.2367)が出てきます。もちろん、y座標が最大値です。
またyが最小になる座標点(0,-1)が出てきます。もちろん、y座標が最小値です。
(余分なy=0の交点が出ますので排除します。)

同様に
f(x,y)=0とf_y(x,y)=0
を連立にして交点の座標を解けば
xが最大になる座標点(±1.139,0.5453)が出てきます。もちろん、x座標が最小値と最大値です。
(余分なy=0の交点も出ますので排除します。)

でもこのようなxとyの最大、最小(極大、極小）値を求めることは、数値計算でないと困難ですね。x,yの連立方程式も5次と6次の連立方程式なので解析的には解くことが難しいですね。

まして、これらの最大、最小（極大、極小だけでは、グラフを描くことが難しいですね。

それならやはり、陰関数の曲線を描けるGRAPESのようなソフトが必要でしょうね。これを使えば、瞬時に曲線が掛けます。これもパソコンがあるからできることです。

お礼

再度の回答ありがとうございます。

> ハート型曲線の形を確認しましたか？
確認できました。
係数や次数を変化させてどうなるか見てみたり
少し遊べました。

> x,yの連立方程式も5次と6次の連立方程式なので解析的には解くことが難しいですね。
やはりそうなのですね。
どのようにしてあの式を思いついたのでしょうね。
いろいろいじってる間に出てきたという感じなのでしょうか？

回答No.1

info22

一番早いのは
陰関数f(x,y)=0をプロット可能な２次元のグラフィックソフトにそのまま
(x^2 + y^2 - 1)^3 = x^2*y^3
を入力してやれば、グラフの曲線を瞬時に描いてくれます。
その曲線がハート型になっていることは見れば一目瞭然です。

たとえば、質問のURLの図形は
無料ソフトの3D-GRAPESで描いています。
無料ソフトのGRAPESのダウンロード先から3D-GRAPESはダウンロードできます。↓
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

手でxを与えてyを求めてできる(x,y)の点を結べば出来ると思いますが、手間と時間がかかって事実上無理でしょう。

なお、極座標変換しても
{（r^2-1)^3}/r^5=(cosθ)^2*(sinθ)^3
となりますが、これもハート型とが式を見ただけではすぐ分かりませんね。

お礼

ありがとうございます。

> 質問のURLの図形は無料ソフトの3D-GRAPESで描いています。
さっそくダウンロードしてみました。
なかなか使い勝手がいいソフトですね。

補足

式から論理的に概形を知る方法はないものでしょうか？
微分して傾きが0になるところを探すなどはやってみたのですが、
なかなかうまくいきませんでした。
x^2 の形で含まれているのでy軸対称なことだけはわかりました。