複素関数に関する質問

質問

春休みに入ったので、応用数学の演習問題をやっているのですが、
複素関数の分野で分からない問題がいくつかあります。
休み中なので、誰かに聞くことも難しいため解説、解答をよろしくお願いします。

1. 実数を係数とする代数方程式 f(x)＝０ が、実数でない複素数ｚを解に持つならば、
共役複素数ｚ～（ゼットバーのつもり）も解であることを証明せよ。そのとき
z = a+ib とすれば、整式 f(x)＝０ は x^2－2ax＋a^2＋b^2 で割り切れることを
証明せよ。（^は階乗）

2. w = 1/z により、次の直線または円はどんな直線または円に変換されるか。
(1) 単位円 |z| = 1 と２点 P、Q で交わる直線
(2) 単位円に１点 P で接する直線
(3) 点 i を中心とし原点を通る円

3. 次の関数は z 平面のそれぞれの領域を w 平面の単位円の内部に
写像することを示せ。
(1) w = （z^2 - a）/（z^2 - a～）、Im a ＞ ０、
　第１象限 ｛z | ０ ＜ arg z ＜ π/2｝
(2) w = （e^z - 1）/（e^z + 1）、帯状領域｛z | －π/2 ＜ Im z ＜ π/2｝

( ^ は階乗、～はバー)

回答No.5

stomachman

１番の問題。正攻法はまさしくoodaiko先生のお示しになった通りと思います。多項式の代数の構造から行くんですね。
蛇足ながら、即物的かつイー加減にやってみました：

　実数係数の多項式f(x)について、f(x) = 0 が解zを持つので、f(x) = (x-z)g(x)と因数分解できる。この多項式g(x)を(x-z~)で割ると、ある多項式h(x)と複素数rがあって
g(x)=(x-z~)h(x)+r
（このあたりの根拠は、と訊かれたら大変だからパス。あーいい加減。）従って、
f(x)=(x-z)(x-z~)h(x)+(x-z)r
　={x^2-(z+z~)x+(zz~)}h(x)+(rx-rz)

[A] h(x)≠0の場合、f(x)が実数係数であるためにはh(x)は実数係数の多項式でなくちゃいけない。
　さもないとf(x)において、（(x^2)h(x)で構成される）xの２乗以上の項に実数でない係数が生じてしまう。（(rx-rz)は１次式ですから、どう足掻いたって２次以上の項に付いてる係数に影響を与えることはできません。）
　一方、(z+z~)はzの実部の2倍、(zz~)はzの絶対値の2乗で、どちらも実数。そしてh(x)も実数係数だから結局{(x^2)-(z+z~)x+(zz~)}h(x)は実数係数の多項式である。
　従って、f(x)が実数係数であるためには(rx-rz)も実数係数多項式でなくちゃならない。

[B] h(x)=0の場合にはf(x)は１次式f(x)=(x-z)rです。だから(rx-rz)は実数係数多項式でなくちゃならない。

　以上から、[A][B]いずれにせよ、(rx-rz)は実数係数多項式である。
　つまり(rx-rz)の１次の項(rx)の係数rは実数である。従って０次の項(rz)が実数であるためには、r=0であるか、またはzが実数である事が必要。
[i] zが実数でない場合には、r=0でなくてはならず、ゆえに
f(x) = (x-z)(x-z~)h(x)
と因数分解できる。だからz~はf(x) = 0の解。
[ii] また、zが実数の場合にはz=z~だからz~はf(x) = 0の解。

　いずれにせよzが解ならz~も解。