IIBまでの範囲での最大最小問題です

質問

「0＜a≦1の範囲における　g(a)=2a√a-2a　の最大値・最小値と、そのときのaの値を求めよ」
という問題が出たのですが、まったく解法が浮かびませんでした・・・

無理矢理グラフを描いて、最大値はなんとなく0かなぁと思ったのですが
それも計算では求めていないのでまったく自信はありません・・・
テスト問題でまだ解答が出ていないのですが、ぜひ解法と答えを知りたいのでお力添えをよろしくお願い致しますm(＿)m

ちなみに範囲は数学IIBまでの問題です。

回答No.4

felicior · ベストアンサー

＞t=√a すなわち t^2=a とおいた後に、なぜか「あれ？ t^2=a ということは t=
＞±√a か？」とか考えたのを思い出しました。

そういうことでしたか、惜しかったですね…。
t^2＝a と書くとどうしても t＝±√a となってしまいますが、これは結局
t＝√a と t＝－√a という二通りの置き換えを含んでしまっているわけですね。
t^2=a を直接代入しても √a＝|t| が出てきますから、やはりここは
初めから t＝√a だけを書くべきでした。

お礼

自分で置き換えたものを戻そうとするとは、実際のテスト中というものは本当にいつもの力を出すのが難しい所だと実感しました。
自分が数学をあまり理解せずにやってきたつけもあるかもしれませんが（苦笑）
ありがとうございましたm(＿)m

回答No.5

mister_moonlight

＞IIBまでの範囲での最大最小問題

ならば、置き換えしかないだろう。

g(a)＝2a√a-2a＝2a（√a-1）であるから、√a-1＝tと置くと、√a＝t＋1で、0＜a≦1から　-1＜t≦0　　‥‥(1)
Ｍ/2＝a（√a-1）＝t（t＋1）＾2＝t＾3＋2t＾2＋t≡f（t）‥‥(2)　であるから、(1)の範囲で(2)の最大・最小を求めると良い。
増減表を書けば終わり。続きは、自分でやって。

回答No.3

orcus0930

f(t)=g(t^2)とした新しい関数を考えるとわかりやすいかもしれません。

a=t^2と置換して、あとは微分で行けますね。

ちなみにグラフはこのようになります。

お礼

グラフの画像を付けていただいてありがとうございます！
こうなってるんですね～、勉強になりました。
値を適当に代入して、下に凸ということまでは突き止めたのですが
左右対称じゃなさそうだから最小値はきっと計算で求めるんだろうなぁ
というところで力尽きました。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

felicior

数IIＢまでですとルートの入った微分はまだですよね。
こういうときは置き換えを使います。
　　t＝√a
とおくと
　　2a√a－2a＝2t^3－2t^2　　（0＜t≦1）
というルートのない式になります。
あとはこの関数をf(t)とおいて微分し増減表を書きましょう。
a＝4/9のとき最小値－8/27
a＝1のとき最大値0
となりますので、自分でも確かめてみてください。

お礼

回答ありがとうございます！
実はこの解法、ちょっとやってみたんです・・・やってみたはずなのに・・・
t=√a すなわち t^2=a とおいた後に、なぜか「あれ？ t^2=a ということは t=±√a か？」とか考えたのを思い出しました。
試験会場はとても怖い場所ですね・・・
先ほど解きなおしたところ、教えていただいた解法で答えが出ました。
とても勉強になりました、ありがとうございましたm(__)m

回答No.1

owata-www

g'(a)=2(a)^(3/2)-2a=3√a-2　たぶんIIＢまでの範囲

とすればそこまで大変ではないと思いますが…

お礼

すみません、よく分からなかったのですが・・・
と思ったら、他の方の回答よりどうやらIIBの範囲外の解法だったみたいですね。
でも、すぐに回答がいただけて嬉しかったです、ありがとうございました。