解析の証明です

質問

関数ｆ（ｘ）がC^2級であれば、

　　　lim（ｈ→０）｛ｆ（ｘ＋ｈ）＋ｆ（ｘ－ｈ）－２ｆ（ｘ）｝/ｈ^2＝ｆ''（ｘ）

であることを示せ。

はどのようにやればよいでしょうか？

回答No.2

arrysthmia

f( ) が D^3 級以上であれば、二次近似したほうが楽ですが…
C^2 級と言われては、一次近似せざるを得ませんね。

テーラーの定理より、
f(x+h) = f(x) + f ' (x)　h + f '' (x+ah)　(h^2)/2,
f(x-h) = f(x) + f ' (x)　(-h) + f '' (x+bh)　(h^2)/2.
となる a, b が、０～１の範囲に存在します。

a, b は、x, h に依存しますが、ともかくも ０～１ なので、
x を固定して h → 0 とするとき、ah → 0, bh → 0 です。

f '' ( ) は連続ですから、
{ f(x+h) + f(x-h) - 2 f(x) } / h^2 = { f '' (x+ah) + f '' (x+bh) } / 2 → { f '' (x) + f '' (x) } / 2
となります。

お礼

よくわかりました！
ありがとうございます。

回答No.1

banakona

｛ｆ（ｘ＋ｈ）＋ｆ（ｘ－ｈ）－２ｆ（ｘ）｝/ｈ^2
　＝｛ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ－ｈ）－ｆ（ｘ）｝/ｈ^2
　＝［｛ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）｝／ｈ－｛ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－ｈ）｝/ｈ]／ｈ

じゃだめ？

補足

なるほどです！
しかし、ヒントにはｆ（ｘ＋ｈ）、ｆ（ｘ－ｈ）の１次近似及びその剰余項を考えると書かれていますが、どうすればよいでしょう？