この逆ラプラス変換の解答おしえてください

質問

問題は、F(s)=4/(s^4+4)です。

分母の因数分解も思いつかず解けません。
教えてください

回答No.3

jaspachate

s は複素数です。因数分解も複素数を使うことに神経質になる必要はありません。s^4+4 = (s^2)^2 - (2i)^2 ですから、
4/(s^4+4) = -i ( 1/(s^2-2i) - 1/(s^2+2i) )

これに
ℒ^(-1)[ 1/(s^2-a^2) ] = (1/a)sinh(at)
ℒ^(-1)[ 1/(s^2+a^2) ] = (1/a)sin(at)
を適用できます。a=√(2i)。複素関数の知識を活かして展開してください。
結果は、
(1/4)( sin(t)cosh(t) - cos(t)sinh(t) )
で、詳しい公式集には載っています。

この問題は単純な形をしているので、公式に頼らず積分できるようにしたいものです。
∫4/(s^4+4) e^(st) ds
を Re(s) = -∞～∞ で行うのですが、これは被積分関数の留数の和になります。そうなると言えることこそ公式と言うものです。
留数は、被積分関数が　s^4+4=0 の４解で一位の極を持つことから
lim[ s→α ] (s-α) 4e^(st)/(s^4+4)、αは s^4+4=0 の解
で、四つあります。
従って、
ℒ^(-1)[4/(s^4+4)] = Σ[k=1～4] lim[ s→α[k] ] (s-α[k]) 4e^(st)/(s^4+4)
ただし、 α[k]、k=1～4　は s4+4=0 の異なる4解。
４解は ±1/√2±i/√2 です。