数II 図形と方程式

質問

円　x^2+y^2=25　上の3点Ａ(5,0)Ｂ(-4,3)Ｃ(-3,-4)における接線を引く。
1)これら3つの接線で作られる三角形の頂点の座標を求めよ。
2)この三角形の外接円の方程式を求めよ。

という問題で、(1)は解けて答えが(5,15) (5,-10) (-7,-1)になりました。
(2)は(1)で求めた3点を通る円を求めればいいんですが解き方がわかりません。
どなたか教えてください<(_ _)>

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
に(5,15) (5,-10) (-7,-1)
を代入すればいいと思いますが…

ちなみに、この円は(5,15) (5,-10)を通る（あなたの答えが正しいのなら）ので、円の中心はy=5/2上にあります。

お礼

代入して解いてみます
ありがとうございました!

回答No.4

info22

1)
> (1)は解けて答えが(5,15) (5,-10) (-7,-1)になりました。
あっています。

2)
#1さんが言われているように
外接円の方程式を
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2…(A)
とおいて
1)で求めた3点がこの外接円周上にあることを使って
3点の座標を(A)に代入してやると
a,b,rの連立方程式が３つ出来ます。
変数が3個なので解けますが、半径r>0の条件で解くと
(a,b,c)=(5,5/2,25/2)
となります。

連立方程式を解いてみてください。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました!

回答No.3

mister_moonlight

相変わらず、書き込みミス。

（誤）2つの直線の交点を通るものは、a*（mx+ny+k）＋b*（px+qY+r）として求められる
（正）2つの直線の交点を通るものは、a*（mx+ny+k）＋b*（px+qY+r）＝0として求められる。但し、aとbは同時に0とはならない。

お礼

ありがとうございました!

回答No.2

mister_moonlight

3つの頂点を求めさせて、外接円の方程式を導かせる問題のようだが、外接円はその過程を踏まずにも、求められる。
所謂“束”の知識を必要とするが。

3本の接線の方程式は、x＝5、-4x＋3y＝25、-3x-4y＝25であるから、これら3直線で作る三角形の3頂点を通る図形は　a、b、cを定数として、a*（x-5）*（-4x＋3y-25）＋b*（x-5）*（-3x-4y-25）＋c*（-4x＋3y-25）*（-3x-4y-25）＝0で表せる。‥‥(1)
で、これを展開するとxとyの2次式になるが、これが円を表すから、x＾2の係数＝y＾2の係数、xyの係数＝0とすると、a、b、cの関係が出る。
そこでc＝○a、b＝△aを(1)に代入してやると、求める外接円が出る。

2つの直線の交点を通るものは、a*（mx+ny+k）＋b*（px+qY+r）として求められる、という事は教科書に載ってるはず。
その応用に過ぎない、詳しくは“束”、or、“直線束”で検索すると詳しい説明が出てくるだろう。