中学 確立の問題

質問

中学生の子供から確立の問題を聞かれて困っております。
私が考えた範囲では「問題の解答」とおりになりません。
どなたかご存知の方ご教示いただけませんでしょうか。
以下に「問題」、「問題の解答」、「私なりの解答」を示します。

【問題】
２ツのサイコロを同時に投げ、大きいサイコロの目をa、小さいサイコロの目をbとした場合、ｘについての二次方程式「x^2-(a+b)x+24=0」の解が自然数となる時の確立を求めなさい。

【問題の解答】
　5/36

【私なりの解答】
　・　サイコロを２つ同時になげるので、６×６＝３６回
　・　二次方程式を解くと（ｘ－a）（ｘ－ｂ）＝０となり、
　　　a×b=24となるa,bを選べば、（4,6),(6,4)の２とおり
　・　上述より答えは「2/36=1/18」

　　↑　この考え方おかしいでしょうか？

以上宜しくお願いいたします。

回答No.8

owata-www · ベストアンサー

・二次方程式を解くと（ｘ－a）（ｘ－ｂ）＝０となり、a×b=24となるa,bを選べば、（4,6),(6,4)の２とおり

ここが違います。ab=24という条件は含まれていません。因数分解と係数をごっちゃにしています。
正しくは
x^2-(a+b)x+24＝(x-1)(x-24)or(x-2)(x-12)or(x-3)(x-8)or(x-4)(x-6)
であり、
サイコロの目の条件から
２≦a+b≦12
なので、これを満たすのは
(x-3)(x-8)＝x^2 -11x +24
(x-4)(x-6)＝x^2 -10x +24
であり、
a+b=11の時
（a,b）＝(5,6)or(6,5)
a+b=10の時
（a,b）＝(4,6)or(6,4)or(5,5)

よって、5/36です

お礼

おっしゃるとおり、因数分解と係数をごっちゃにしていました。
わかりやすい説明ありがとうございました。

回答No.13

mister_moonlight

＞「解が自然数となる」ための必要条件はこの二次方程式の「判別式が正」です。

まったくの嘘です。正しくは、判別式＝m＾2　（mは0以上の整数）として、（a+b）＾2-96＝m＾2　即ち、（a+b+m）*（a+b-m）＝96　としなければならない。

2≦a＋b≦12　と（a+b）＾2-96≧0から、4√6≦a＋b≦12　というつもりかもしれないが、それをもって“「解が自然数となる」ための必要条件はこの二次方程式の「判別式が正」です。”と言う事自体は、正しくない。

2つの解が実数解となるための条件はこの二次方程式の「判別式が正、or、0」です－と言うなら間違いではないが。

回答No.12

mister_moonlight

質問者の解答には可笑しなところがあるが、問題文そのものには何の問題もない。

1≦a≦6、1≦b≦6から、2≦a＋b≦12　‥‥(1)
x≠0から、方程式は、a＋b＝x＋（24/x）。a＋bは自然数から、xは24の約数。　つまり、x＝1、2、3、4、6、8、12、24。
この中で、(1)を満たすのは　a＋b＝11、or、10.
つまり、（a、b）＝（5、5）、（4、6）、（6、4）、（6、5）、（5、6）。
従って、問題集の答えの通り。

お礼

なるほどなるほど、いろんな見方ができるんですね！
ありがとうございます。

回答No.11

mister_moonlight

＞言い訳になりますが、出題者は出た目の数を因数として使わなければならないという縛りはないことは明記するべきじゃないでしょうかね。

言い訳はみっともないです。
正しく問題を読み取れていない人が惨めなだけです。

お礼

皆さんのご指摘ごもっともです。いやー耳が痛いです。
ありがとうございます。

回答No.10

noname#235092

「解が自然数となる」ための必要条件はこの二次方程式の「判別式が正」です。
つまり(a＋b)^2－96が正の数でなければなりません。
したがってa＋bは10か11か12でなければなりません。
このうち12の場合は判別式が平方数にならないので結局10か11ということになります。
そのときのa，bの組み合わせは、(4，6)，(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)の5通りとなります。

子どもに納得させるならこんな説明もアリでしょうか。

お礼

なるほど、そういう風に教えることもできるわけですね。
ありがとうございます。

回答No.9

Willyt

＃１です。１１でもいいのですよね。これを失念していました(^_^;)　言い訳になりますが、出題者は出た目の数を因数として使わなければならないという縛りはないことは明記するべきじゃないでしょうかね。

お礼

おっしゃるとおりです。
ありがとうございます。

回答No.7

seireki-

すいませんNo５ですが修正すべき点があります。
１、不等号はすべて≦です。
２、ｘは自然数という条件が抜けていました

お礼

了解しました。ありがとうございます。

回答No.6

c_850871

#4です．4行目は

x^2-(a+b)x+24=0

の間違いです．

お礼

了解しました。ありがとうございます。

回答No.5

seireki-

途中まで合っていますが見落としている点があります。
最初から書くと

ｘ~２－(a＋ｂ）＋24＝０
を解くと
(x-1)(x-24)=0 x=1,24　…(1)
(x-2)(x-12)=0 x=2,12　…(2)
(x-3)(x-8)=0 x=3,8　　…(3)
(x-4)(x-6)=0 x=4,6　　…(4)
ここで条件としてa,bはサイコロの目であるので
1<a<6 , 1<b<6 これらから2<a+b<12…(5)

(1)の場合
a+b=25
(2)の場合
a+b=14
(3)の場合
a+b=11　…(6)
(4)の場合
a+b=10　…(7)

(5)の条件に合うのは(6)と(7)のみ
このとき
(6)(a,b)=(5,6)(6,5)　←ここ抜けてます
(7)(a,b)=(5,5)(6,4)(4.6)　←(5,5)が抜けてます

サイコロは区別されていて３６通りあるので
よって答えは５/３６

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました。

回答No.4

c_850871

>二次方程式を解くと(x-a)(x-b)=0

なぜこのような変形をされたのですか?
解の積が24となるようなa,bを求めるのであれば良いのですが，
二次方程式(x-a)(x-b)=0の解はx=a,bとは限りません．
(仰りたい意図はよく分かりますが)

即ち，a+b≦12の条件を考えて，考えられうる解は
(3,8),(4,6)の2つの場合になります．
2解が(3,8)のとき
(a,b)=(6,5),(5,6)
2解が(4,6)のとき
(a,b)=(6,4),(4,6)(5,5)
ですから，全部で5通りになるので，求める確率(確立ではないですよ)は5/36になります．

お礼

昔そう習ったような！いやーお恥ずかしい限りです。
ありがとうございました。

回答No.3

itinohana

掛け合わせることで24になる自然数の組み合わせは
(1,24)(2,12)(3,8)(4,6)
これらの和が12以下になる組み合わせは
(3,8)(4,6)
なので、xの係数が10か11になる組み合わせを考えればよいので
(4,6)(5,5)(6,4)(5,6)(6,5)
の通り。

お礼

なるほどそういうことでしたか。ありがとうございます。