統計-最大利益を得る問題

質問

こんばんは。
統計学の問題です。多少分かりにくいところもありますがよろしくお願いします。

【問題】
ジュースの利益の期待値が最大となるような仕入れ量を求めたい。
ジュースの仕入れ量、需要量、得られる利益は連続量である。

あるジュースは週の初めに1回仕入れ、その週のみ販売することができ、売れると45円/リットル の利益、売れ残ると115円/リットル 損をする。
また、このジュースの週の需要量x(リットル)は、確立密度関数p(x)で表される。
ジュースの仕入れ量をy(リットル)、利益をb(x,y) (円) とすると、利益の期待値E(y) (円) は、
　E(y)=∫b(x,y)・p(x)dx, (0→x→∞)　…(1)
であり、E(y)が最大となる仕入れ量y0 (リットル) は、
　dE(y)/dy=0 …(2)　（このとき、y=y0）
を満たす。したがって、式(1)の利益b(x,y)をx,yで表し、それを式(2)に代入することにより、∫p(x)dx, (0→x→y0)はいくらになるか。

また、確立密度関数p(x)を
p(x)=
x/1600-1/80 (20≦x≦60)
-x/1600+1/16 (60≦x≦100)
0 (x ; otherwise)
とするとき、y0はいくらか求めよ。

このような問題ですが、最初の利益b(x,y)を求めるところからつまづいてしまいます。
なんとなく頭の中では解答の方針は立つのですが、よく分かりません。
統計学は苦手なので、すみませんがどなたか分かりやすくご教示して頂けませんでしょうか。
ここが分からないと伝えることができたら、解答される方のご負担も減るとは思うのですが、それもままならない程度なので、
申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

> このような問題ですが、最初の利益b(x,y)を求めるところからつまづいてしまいます。

とのことなので、b(x, y)についてだけ説明しましょう。

> あるジュースは週の初めに1回仕入れ、その週のみ販売することができ、売れると45円/リットル の利益、売れ残ると115円/リットル 損をする。

ジュースが売れなかった場合は-115y円の損です。
売れれば1L当たり45円の利益が得られるので、xL売れた場合は160x-115y円がその週の利益となります。ただし、仕入れた量より売ることはできないのでy<xの場合は45yがその週の利益になります。

これを式(2)に代入して
dE(y)/dy = (d/dx){∫(160x-115y)p(x)dx+∫45yp(x)dx} = 0
（ただし、一つ目の積分範囲はx=0～y、二つ目はx=y～∞）

あとはこれを解けば∫p(x)dx(積分範囲は0～y0)の値が得られます。

お礼

おはようございます。
なるほど上のようにして区間を分けるのですね。
分かりやすい解説ありがとうございます。