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高1の論理と集合の計算のところ
√2-1/p + √2/q=1 という計算式を解くと、 (√2-1)(√2+1)/p(√2+1) + √2√2/√2q =1 で、分母の√を消して、 √2p+p + 2/√2q =1 となり、 両辺に2をかけて、 2(√2p+p + 2/√2q) =2 2√2p+2p + √2q =2 となると思うのですが、 正しい回答には √2p + (√2-1)q = √2(√2-1) となっていました。 一体、どこが違っているのでしょうか? アドバイスいただけるとうれしいです。 見にくい表記ですいません;;
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【問題】 実数xについての条件 p(x):x>a-2 q(x):x^2>a がある。 p(x)がq(x)の十分条件となるような実数の定数aの値の範囲を求めよ。 【解答】 x^2>aを満たすxの値の範囲は ★{a<0のときは実数全体 {a≧0のときはx<-√aまたはx>√a ★ p(x)がq(x)の十分条件となるのは、”p(x)⇒q(x)”が成り立つ時なので、p(x)、q(x)の心理集合をP,Qとすると、P⊂Qとなるときである。 (i)a<0のとき P={x|x>a-2} Q={実数全体} であるから、任意の実数aに対してP⊂Qが成り立つ。 (ii)a≧0のとき P={x|x>a-2} Q={x|x<-√aまたは√a<x} であるから、P⊂Qが成り立つのは√a≦a-2 すなわちa-√a-2≧0 ☆よって(√a+1)(√a-2)≧0が成り立つ時である。 常に√a+1>0であるから、これは√a≧2すなわちa≧4のときである。☆ 以上から、求めるaの値の範囲はa<0または4≦a まず、★の部分なんですが、これは場合分けをa≦0とa>0と等号のつけ方を逆にしてもいいのでしょうか? そして、☆の部分なんですが、これは√a≦a-2のあと 両辺2乗してa≦a^2-4a+4 a^2-5a+4≧0 (a-1)(a-4)≧0 と計算していってしまったらだめなのでしょうか? もしこれでも可能なら、答えの形から、計算してa≦1、4≦aとなったあとに吟味が必要になると思うんですが、その吟味の仕方も教えてくださると嬉しいです。 よろしくおねがいします(> <)
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