正解と不正解の見極め

質問

問
赤球１個、白球４個、黒球６個があり、これらを全部円形に並べる
とき、並べ方は何通りあるか。

テキストの解説
１）赤球を基準として、赤球から右回りに、他の１０個がどのよう
に配置されているかを考えればＯＫ

２）１０！／（６！×４！）→２１０通り

不明点
赤球を基準としなかった場合…白と黒球、計１０個を並べられた
円計内に赤球の配置場所は１０個あるわけだから、２１０×１０
で、２１００通りが正解という風に考えることもできますよね。

ね？解説ではあくまで赤球を基準とした場合に限っての話であっ
て、赤球を基準とせず、白＆黒の並び順を考える→そこに赤球を
一つずつ配置する、という手順で考えれば２１００通りとなるの
です。

もっと簡単なケースで考えると…Ａ、Ｂ、Ｃマークのボールの並
べ方を考えた場合、

Ａ・Ｂの並び順はあくまで２通り。Ｃの配置は一番左、真ん中、
一番右の３箇所あるから、２×３＝６．となります。

２１００が不正解で、２１０が正解であるというのは、どうやっ
て判断したらよいのですか。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

お
hypnosisさん　こんばんは。

＞＞＞
不明点
赤球を基準としなかった場合…白と黒球、計１０個を並べられた
円計内に赤球の配置場所は１０個あるわけだから、２１０×１０
で、２１００通りが正解という風に考えることもできますよね。

そう考える場合は、２１０×１０　ではなくて、
１１！／（１！×４！×６！）　＝　２３１０　通り
になります。
赤を置く場所は１１箇所ありますから。

たしかに、基準を設ける、すなわち、円卓の周りに１１個の椅子を置いて、椅子に番号をつけるとか、方角を考慮するとかですと、２３１０通りになります。

その一方で、
円卓を上から見るのではなく下から見ること（鏡写しと同じ）を考慮すると、
２１０　÷　２　＝　１０５通り　になります。

ですから、「正解と不正解の見極め」というよりは「問題文の解釈」の話になります。

問題文に「円形に並べるとき、・・・を求めよ」と書かれているとき、
「円卓の周りに１１個の椅子を置いて、椅子に番号はつけないし、方角も考慮しない。ただし、鏡写しにしたときに同じになる組は、１通りでなく２通りに数える。そのようなとき、・・・を求めよ」
というような条件であると解釈するのが一般的になっています。
あまり文句をつけてもしょうがないですし、時間の無駄ですので、そういうもんだと受け入れて、次のことに取り組みましょう。

ちなみに、固体物理で結晶構造の勉強をすると、もっと話がややこしくなります。（具体的な説明は割愛）

以上、ご参考になりましたら。

お礼

sanoriさん、こんにちは!!

＞「正解と不正解の見極め」というよりは「問題文の解釈」の話になります。問題文に「円形に並べるとき、・・・を求めよ」と書かれているとき…というような条件であると解釈するのが一般的

そうなんですかー（@_@;）。今回学ぶべきところは何よりここ
ですね。ありがとうございました！

回答No.6

tsuyoshi2004

＃５です。

説明が不十分だったようで、申し訳ありません。
回答の趣旨は「円形にならべるというのは数学の問題と考えれば、その置かれる場所の絶対的な位置は考えずに相対的な位置だけを考えればいいというように理解するしかない。」ということです。
従って、Ａ～Ｋの横一列で考えるにしても、例えば１個だけの赤球のある場所を常にＡと考えればすむことです。とすれば必然的に答えは２１０です。

仮に横に一列（絶対的な位置までを考慮した場合）でも２１００は間違いで、２３１０になるので２１００はどのように問題を解釈しても間違いと補足的に説明しただけです。

お礼

ん～…それはつまり、「横一列で考えるにしても、始まりと終わりを考える必要はない」という理解でいいのでしょうか…？

回答No.5

tsuyoshi2004

この問題は結構不親切な問題だと思います。
出題者は「円形に並べる」と述べた時点で、暗黙に「起点、終点はなく並び順のことだけを考えろ」と言っていると理解しなくてはいけないと思います。
仮に球を置く場所をある点を起点に時計回りにＡ～Ｋとした場合に、
ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪＫ
赤白白白白黒黒黒黒黒黒
と
白白白白黒黒黒黒黒黒赤
は同じ並び順と考えろ
という問題だと解釈をする必要があります。

例に出しているＡＢＣのボールでも位置までを考えれば、
ＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡ
の６通りになりますが、これを三角形において起点・終点を考えなければ、
ＡＢＣとＡＣＢの三通りしかありません。
（ＡＢＣとＣＢＡとＢＣＡは同じであり、同様にＡＣＢとＣＢＡとＢＡＣも同じです。）

この辺は日本語の問題というよりも、「数学の問題だから出題意図を理解してください。」と思うしかないでしょう。

また、位置までを厳密に捉えても、白黒１０個の並びが２１０で赤球は左端から右端までの１１箇所なので、２３１０通りになります。

お礼

ありがとうございます。

＊「円形に並べる」と述べた時点で、暗黙に「起点、終点はなく並び順のことだけを考えろ」と言っている。

＊ＡＢＣのボールでも三角形において起点・終点を考えなければ

えぇーっと、ちょっと混乱してしまったのですが。つまり、問題文
が「円形に並べる」という条件がついていた場合、頭の中や絵のイメージは、円を描いて考えるのではなく、ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪＫと
横一列で考えることが求められる、ということですよね。

赤白白白白黒黒黒黒黒黒　と　白白白白黒黒黒黒黒黒赤　は、
仮にこれを円で描いた場合、左端の赤と右端の赤は同じ位置だと思
うのですが、これを別々としてとらえ、赤の配置が１１箇所あるというのは、このことを指しているという風に受け止めましたが、あっていますでしょうか。

回答No.4

arrysthmia

２１０通りとか、２１０×１０通りとか、みみっちいことを言ってはいけません。
球を円形に並べるとき、その円の半径は任意ですから、半径をイロイロ変えることを考えると、
「並べ方」は、少なくとも正の実数と同じだけはあるのです。無限ですね。

どのように計算するか以前に、自分が何を計算しようとしているのか
を把握することが大切です。

お礼

arrysthmiaさん、こんにちは。

すいません、今回のアドバイスはよくわからないのですが…？

回答No.3

aqfeplus

これは、
＞これらを全部円形に並べるとき、
という文言があるので、
円形に並べた球を回転方向に回して同じ並び方になるものは、
同一とみなすということが問題文で暗に言われています。

絵的に表すと、
　○○
●　　●
●　　○
　○○
と、
　○○
○　　●
●　　●
　○○
と、
　○○
●　　○
○　　●
　○●
（ほか多数）はすべて同一の並べ方とみなします。
いわゆる数珠順列という問題です。

質問者さんの赤球を基準に考えない方法だと、
＞白と黒球、計１０個を並べられた円計内
これが２１０通りではなく、上記のように回転することで、
それぞれ１０通りの重複があるので１０で割り、２１通りです。

＞赤球の配置場所は１０個あるわけだから、
２１×１０で２１０通りです。

結局、
＞これらを全部円形に並べるとき、
がポイントです。

お礼

＞同一とみなすということが問題文で暗に言われています。

ひょぇ～。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「白と黒の並び順を考え, そこに赤球を配置する」という手順で考えても, 答えは 210通りで変わりません.
下に挙げた「3個のボールの並べ方」との本質的な違いを文章から読み取ってください.

お礼

ありがとうございました。