場合の数問題 同じものを含む順列の考え方について

質問

教えてください。
白球５個、赤球２個、黒球１個がある。８個の球を１列に並べるとき次の並べ方は何通りあるか。
（１）すべて異なる並べ方
　　解）8!/5!・2!＝168通り
（２）両端が白球となる並べ方
　解）W WWWRRB W と考えて，白5個から2個選んで残りの
　　　白3個，赤2個，黒1個を並べることで，
　　5C2×6!/3!・2!で考えたら600通りとなり，（１）を超えてしまい
　　間違えていることに気づきはしました。

　5C2の10通りについては，白1～白5と考えて，
　　（左，右）＝（白1，白2～5）4通り
　　　　　　　　（白2，白3～5）3通り
　　　　　　　　（白3，白4，5）2通り
　　　　　　　　（白4，白5）　 1通り
　と10通りとしました。左，右の入れ替えを考えないのは同じ色
なので5P2ではないという考えでした。

　さて，こうではなく、白はすでに2個両端において終了。
　残りの白3個，赤2個，黒1個を並べると終わりと言う考え方についてどうしてこのように考えるとよいのかを教えてください。
　また上記の考え方では何が知識の欠如なのか、
　さらにもし確率の問題とすると，区別をつけるのでPなのかCなのか
わかりませんが、必要になるのであればそのことも含めて教えてくだ
さい。
　よろしくお願いします。

回答No.1

abyss-sym · ベストアンサー

解）W WWWRRB W と考えて，白5個から2個選んで残りの
　　白3個，赤2個，黒1個を並べることで，
　　5C2×6!/3!・2!
このようにすると、白に区別があることになってしまいます。
したがって、5C2は必要ないんです。

別の考えとしては、あえて白に区別があるとして、最後に区別がないように戻す方法があります。
白を、W1,W2,W3,W4,W5とします。
そうすると、(1)の場合は、8!/2!=20160
ここで、白だけの並びかたに注目します。
５個の並び替えなので5!=120通り
20160÷120＝168通り となります。

(2)は5P2×6!/2!=20×360=7200
(1)と同様にして7200÷5!=60通り となります。

お礼

そうそうにありがとうございました。なるほど。Cとしても考えてみれば区別して数えていました。
別の考え方までいただき勉強になりました。

回答No.4

noname#47894

（１）ができているので、同じものを含む順列は、理解できていると思います。
（２）ですが、区別のつかない白球を２個両端に並べるので、その並べ方は１通りしかありません（球を変えても見た目が変わりませんね？）。
したがって、その二個を並べ終わった時点で、１通りの並べ方があるのですが、掛け算すると、１はないのと同じですので、残りの白3個，赤2個，黒1個を並べる並べ方が解答となります。

確率の場合との違いですが、別のことでたとえます。
１の目が５つ、２の目が１つという、変わったサイコロがあるとします。このサイコロを２回振ったときの、目の出方の組み合わせは、
（１，１）、（１，２）、（２，１）の３つですね？（順列なら、ここに（２，１）を加えますが）
では、２回投げて２回とも２の目が出る確率を問われたら、1/3（あるいは1/4）でしょうか？
どう考えても、（１，１）が出やすく、（２，２）は出にくいですよね？
これは、五つある「１」の目を区別して計算しなければなりません。

順列－組み合わせでは、見た目が同じなら、「同じ順列」「同じ組み合わせ」と見るのに対し、確率計算のときは、見た目が同じでも「同じことの起こりやすさ」が問題になるので、区別して計算します。

お礼

後半部分まで詳細に解説感謝します。

回答No.3

debut

5C2×6!/3!・2!の計算だと
　白１→白→白→白→赤→赤→黒→白２　
　白１→白→白→白→赤→赤→黒→白３
　白１→白→白→白→赤→赤→黒→白４
　白１→白→白→白→赤→赤→黒→白５
　白２→白→白→白→赤→赤→黒→白３
　白２→白→白→白→赤→赤→黒→白４
　白２→白→白→白→赤→赤→黒→白５
　白３→白→白→白→赤→赤→黒→白４
　白３→白→白→白→赤→赤→黒→白５
　白４→白→白→白→赤→赤→黒→白５
は、すべて違うものとして計算されてしまいますよね。
でも、実際はこれらすべてが１通りです。

両サイドにどの白を選んだとしても間に並ぶ順列の数は
　6!/3!・2!　となり等しくなります。
しかもある１つの並び方、例えば　白白白白赤赤黒白　という
並び方は、両サイドにどの白を選んだとしても１通りあり、
そのパターンは全体として１通りと数えるわけだから、例えば
最初に両サイドを白１、白２と決めてしまって、残りの順列を
数えていってもいいことになります。
だから、5Ｃ2はいらないということになります。

お礼

パターンをかいていただきありがとうございます。よくわかりました。

補足

点数２人のみなのですみません。ほんとうはポイントつけたかったのです。

回答No.2

Meowth

8C5×３C1=168通り
両端が白球となる並べ方
6C3××３C1=60通り

お礼

すっきり、ありがとうございます。