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微分方程式

cosh(x) の定義は(e^x+e^{-x})/2 sinh(x) の定義は(e^x-e^{-x})/2です。 なので、A_1, A_2 を任意定数として A_1 e^x + A_2 e^-x とあらわせる式は、 A'_1, A'_2 を適当に置きなおすと、A'_1 cosh(x) + A'_2 sinh(x) と置きなおすことができるのですが、次の問題が分かりません。 {(d/dx)^4}u=Pu, (0<x<1), u(0)=u'(0)=0, u(1)=u'(1)=0 の問題についてですが D=d/dxとして特性方程式を作って {D+i[4]√(P)}{D-i[4]√(P)}{D+[4]√(P)}{D-[4]√(P)}=0 (ここで 累乗根 : x[n]√(a+b) = (x)(a+b)^(1/n) とする) とすると根がx = ±[4]√(P),±i[4]√(P)となり、一般解は公式より u=c1e^(-ix[4]√(P)) + c2e^(ix[4]√(P)) + c3e^(-x[4]√(P)) + c4e^(x[4]√(P)) (c1,c2,c3,c4は任意定数) となる。ココから次の式に導くのですがそれが分かりません。 u=c'1cosh(x[4]√(P)) + c'2sinh(x[4]√(P)) + c'3cos(x[4]√(P)) + c'4sin(x[4]√(P)) (c'1,c'2,c'3,c'4は任意定数) いろいろ試してみたのですが、出来ませんでした。 分かる方教えてください。お願いします。

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>{(d/dx)^4}u=Pu, (0<x<1), u(0)=u'(0)=0, u(1)=u'(1)=0 これをP>0の条件で数式処理ソフト「wxMaxima」を使って解いたところ u(x)=0 となってしまいました。 本当に与えられた境界条件の下で u(x)=0以外の解が存在しますか? {(d/dx)^4}u=Pu, (0<x<1), u(0)=a,u'(0)=b, u''(0)=c,u'''(1)=d (P>0)の下で解くと u(t)= [{bP^(1/2)-d)sin(xP^(1/4))}/{2*P^(3/4)}] +[{{a*P^(1/2)-c}cos{xP^(1/4)}}/{2P^(1/2)}] +[{aP^(3/4)+bP^(1/2)+cP^(1/4)+d}e^{xP^(1/4)} +{aP^(3/4)-bP^(1/2)+cP^(1/4)-d}e^{-xP^(1/4)}]/{4P^(3/4)} =[{bP^(1/2)-d)sin(xP^(1/4))}/{2*P^(3/4)}] +[{{a*P^(1/2)-c}cos{xP^(1/4)}}/{2P^(1/2)}] +{aP^(1/2)+c}cosh{xP^(1/4)}/{2P^(1/2)} +{bP^(1/2)+d}sinh{xP^(1/4)}]/{2P^(3/4)} となります。 なお、K=[4]√(P)(>0)などとおきかえると式が見やすくなると思います。

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  • 回答No.1
noname#161582
noname#161582

>A_1 e^x + A_2 e^-x とあらわせる式は、  A'_1, A'_2 を適当に置きなおすと、A'_1 cosh(x) + A'_2 sinh(x)  と置きなおすことができるのですが、 それがわかっているなら c3e^(-x[4]√(P)) + c4e^(x[4]√(P)) の部分が c'1cosh(x[4]√(P)) + c'2sinh(x[4]√(P)) となることもわかるはずですが・・・

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