音速について

質問

音速はｖ＝333+0.6ｔで表されるようですが、これはどうやって求められたのですか？

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

tが摂氏ｔ℃だとすると
音速　V[m/s]＝331.5＋0.6ｔ・・・（１）
だったような．

ともあれ，ｔがあまり０℃からずれない範囲で使える線形近似(１次近似)の式であって，求め方は実験的にやるか，理論的にｔ(の絶対値)があまり大きくないとして線形近似で求めて実測値を使って見積もるかするのでしょうね．
一般に，比熱比γの気体中の音速ｖは
ｖ＝√(γＰ／ρ)
（Ｐ：圧力，ρ：気体の密度）
と書けて，気体の状態方程式を書き換えて
Ｐ／(ρT)＝一定
ただし，Tは絶対温度(K)
これをT＝273.15＋ｔ(℃)で書き換えて，０℃での音速ｖo＝331.5(m/s)
の付近での展開（√(１＋ε)≒1 + ε/2）をすれば導けます．

勿論，厳密には１次関数で書けるわけではなくて，ｔのずれが大きくなると，高次の補正項が効いてきて，
V[m/s]＝331.5＋0.6ｔ＋bｔ^2+cｔ^3+・・・
などとなり，０℃からある程度大きくずれると，値のずれが目立ってきて使い物にならなくなるでしょう．

極端に言えば，例えば０℃での線形近似の式（１）が，１万℃でも使えるとは誰も思いませんよね．

お礼

大変わかりやすい解答ありがとうございます。
Ｖ0付近での展開のところがよくわかりません。テーラー展開を使うのでしょうが、
式をどのように扱ったらよいのでしょうか？

回答No.3

oshiete_goo

締切られてしまったようなので，＃２に対する疑問点についての追加回答です．

ｔ℃での音速　ｖ＝√(γＰ／ρ) ・・・（１）
０℃での音速　ｖo＝√(γＰo／ρo) ＝331.5(m/s) ・・・（２）
（Ｐ：圧力，ρ：気体の密度）

気体の状態方程式より
Ｐ／(ρT)＝一定
⇔Ｐ／ρ∝T　・・・（３）
ただし，Tは絶対温度(K)

（１）÷（２）を（３）を用いて絶対温度で書き，さらに　T＝To＋ｔ(℃)　　[To＝
273.15(℃)]
で書き換えて，

ｖ／ｖo＝√(T／To)＝√{１＋(ｔ／To)}

これを微小量ｔ／Toについて展開（√(１＋ε)≒1 + ε/2）すれば
ｖ／ｖo≒１＋(ｔ／2To)
より
ｖ＝ｖo{１＋(ｔ／2To)}
これに数値を代入して導けます． [ｖo／2To≒0.6]

回答No.1

tksoft

実験で求めます。
ある温度tのときの音速を各温度で色々実験・実測し、統計的な手法を用いて相関式を導くとそのような式が出てきます。