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等差数列の問題

完璧にわかっていない問題があるのでご教授下さい。 １から９００までの自然数の家、２で割り切れず、３で割って２ａまり、更に５で割って４で余る数は何個あるか。また、それらの和を求めよ。 解答　３０個　、和は１３９２０ ｛２９＋３０（ｎー１）｝ ☆しらみつぶしで２９が条件に当てはまる数だとわかりました。しらみつぶしで求める以外に簡単な方法ってあるのでしょうか？ ☆２９を２倍、３倍、・・・倍した数が条件に当てはまる数かと思いきやちがいました。２９に３０を足した数だとわかったんですが、どうして３０を足したのかわかっていません。 以上が分かっていない点です。この質問にお答えもお願いします。

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  • eatern27
  • ベストアンサー率55% (635/1135)
回答No.2

２で割り切れず、３で割って２余り、更に５で割って４で余る自然数をAとおくと A+1は2,3,5で割り切れます。 という事は、A+1は2*3*5=30で割り切れます。つまり、A+1は30の倍数です。 nを自然数とすると A+1=30n A=30n-1（=29+30(n-1)・・・こうする事に意味はない） １≦30n-1≦900 であり、nが自然数である事を考えれば、 n=1,2,3,・・・・29,30 である事が分かります。 和は Σ(1 to 30)(30n-1)=30*30*31/2-30=13920 ＞どうして３０を足したのかわかっていません 簡単に言えば、2,3,5の公倍数です。 なぜ、2,3,5の公倍数かというと、 Bが２で割り切れないとします。 Bの次に大きい2で割り切れない自然数はB+2だというのは分かりますね。 その後は、B+4,B+6、B+8、・・・と続いていきます。 つまり、Bに2の倍数を足せば、その数は、2で割り切れません。 次に、Cが3で割ると2余る自然数だとします。 Cの次に大きいのはC+3。その後はC+6、C+9、C+12、・・・と続きます。 Cに3の倍数を足せば、その数は、3で割ると2あまります。 Dが5で割ると4余る自然数であれば、 Dの次はD+5。その後は、D+10，D+15,・・・と続きます。 Dに５の倍数を足せば、その数は5で割ると、4あまります。 Aが2で割り切れず、3で割ると2余り、5で割ると4余るので Aに2の倍数かつ、3の倍数かつ、5の倍数である数つまり、30の倍数を足せば、 そのかずも2で割り切れず、3で割ると2余り、5で割ると4余ります。

zihard99
質問者

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございました。とても説得力がありました。

その他の回答 (1)

  • TK0318
  • ベストアンサー率34% (1261/3651)
回答No.1

＞２で割り切れず、３で割って２余り、更に５で割って４で余る数 言い換えるとある数Ａに１を足すと２，３，５で割り切れます。その数（Ａ＋１）は最小公倍数から３０。よって最小のある数Ａは２９と分かります。 最小公倍数が３０なのですから６０，９０・・・も植えの条件に成り立ちます。１を引けばいいのですから５９，８９・・・となっていきます。 よって３０n－１が答えになります。 ３０ｎ－１＜９００ より最小のｎは３０になり、和は Σ（３０ｎ－１）（ｎ＝３０）＝３０・３０・３１／２－３０＝１３９２０ ＊｛２９＋３０（ｎー１）｝ ＝３０ｎ－１

zihard99
質問者

お礼

すばやい回答ありがとうございました。単純明快でわかりやすかったです。

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