数値解析についての質問です

質問

sinxを微分したときの理論解と数値解を比較するというのをやっているのですが
Δxを0.1とおいてxの関数として数値解を出した時に、数値解が0に近づくほど誤差が大きくなり、逆に離れると誤差が小さくなるのですが、これはどうしてでしょうか？
よろしくお願いします

回答No.2

sugakusya · ベストアンサー

下の方の解答でわからなければ・・・

E(x)＝{sin(x+h)-sin(x)}/h - cos(x)

として、E(x)のグラフをグラフを描くソフトかなんかで描いてみるといいかもしれません。(もちろんh=0.1)
　あるいはE(x)の微分をもとめ、極値をとる値を求めてみても納得できると思います。案外簡単な微分です。

計算ミスをよくするほうですが、答えは
atan{ ( 1-(cos(h))/h )/( 1-sin(h) ) }=x
すなわちx≒(2n+1)π/2 (nは整数)で極大あるいは極小をとる。

回答No.1

arrysthmia

＞ 逆に離れると誤差が小さくなるのですが

離れれば離れるほど、誤差が小さくなる訳ではありませんね。
{ sin(x+Δx)-sin(x) }/Δx と cos(x) の差は、
0 ≦ x ≦ π/2 の範囲では、x が大きいほど小さい
…ということでしょう？

平均値定理から、{ sin(x+Δx)-sin(x) }/Δx = cos(y),
x ≦ y ≦ x+Δx となる y が存在する訳ですから、
この範囲で cos(y) が cos(x) に近いほど、よい近似となります。
x ≒ 0 と x ≒ π/2 では、どちらが cos(x) の変動が少ないですか？