∫1/(z-1)dz C:|z|=1 の求め方
次のように考えてみました。
z=1は不正則点であるので、z=cosθ+isinθ (0＜θ＜2π)とおき、
∫1/(z-1)dz
=∫[0→2π]1/(cosθ+isinθ-1)dz/dθdθ
=∫[0→2π](-sinθ+icosθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ){cosθ-(isinθ-1)}/(cosθ+isinθ-1){cosθ-(isinθ-1)}dθ
=∫[0→2π]i{(cosθ)^2-isinθcosθ+cosθ+isinθcosθ+(sinθ)^2+isinθ}/{(cosθ)^2-(isinθ-1)^2}dθ
=∫[0→2π](1+isinθ+cosθ)/2sinθdθ
=1/2∫[0→2π]1/sinθdθ+i/2∫[0→2π]dθ+1/2∫[0→2π]cosθ/sinθdθ
=1/2[log|tanθ/2|][0→2π]+i/2[θ][0→2π]+1/2[log|sinθ|][0→2π]
=πi
以上のような考え方でよろしいのでしょうか？宜しくお願い致します。
