ハバードハミルトニアンについて

質問

今、一次元の金属を考えて、同じ原子の上に電子がきた時のみ
相互作用を考えるハバード模型について勉強を始めました。

この系のハミルトニアンは
H=Σ_k (E_k)(n_k)+Σ_i U(n_i,↑)(n_i,↓)
１項目は電子の運動エネルギー、２項目がクーロン相互作用
エネルギーの項です。
ここの第２項のn_i,↑はi番目の原子上にある上向きスピンを持つ
電子の数（0か1）です。

ここでこのn_i,σ　(σ=↑,↓)をフーリエ変換
n_i,σ=(1/NA)Σ_q (n_q,σ)exp(iqr_i)を使って書き直すと
第２項は　(1/NA)Σ_q (n_q,↑)(n_-q,↓)という風に成るらしいのです。
自分自身でやってみようとすると
Σ_i(1/NA)^2Σ_qΣ_q'(n_q,σ)exp(iqr_i)(n_q',σ)exp(iq'r_i)
となり、フーリエ成分を代入しただけで詰まってしまいます。
(n_q,↑)(n_-q,↓)の２成分以外は消えてしまっているのですが、
ただ代入するというはじめから間違っているのでしょうか・・・

どうかご教授願います。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

その後、
Σ_j exp(ikr_j)
がk=0の時にNA、k≠0の時に0になる事を利用するだけですね。(今の場合はk=q+q')

補足

kについての和を実行した時に
k=0以外はキャンセルされるということでしょうか・・・

状況が異なるのかもしれませんが、k=πのときの項と
相殺してしまいそうな感じがしてうまくもっていけずにいます・・・

また結果の(n_q,↑)(n_-q,↓)で、qの時には↑、-qの時には↓が残る
理由が分かりません・・・（パウリの排他則か何かでしょうか？？？）

どうかご指摘、ご教授お願い致します。

回答No.4

eatern27

各原子が等間隔に並んでいる場合には、
Σ_j exp(ikr_j)
って、単なる等比級数ですからね。

>状況が異なるのかもしれませんが、k=πのときの項と
>相殺してしまいそうな感じがしてうまくもっていけずにいます・
k=πの時の項と何が相殺すると思っていて、そう思う理由はなんでしょうか。

#n_qがqにどう依存しているか分からない以上、最初にqに関する和を取る方法は上手く計算できないような気がするのですが。。。

お礼

回答ありがとうございました。

和に関して勘違いしておりました。実際にはiに関しての
和のところを、なぜかずっとkに関する和と思いながら考えてました・・・。

回答No.3

leo-ultra

> q+q'の和を実行した時に、q+q'=0を対称にして正負の項
> でキャンセルされるということでしょうか？

納得がいかないのであれば、これはいろいろな教科書に載っていると思いますよ。本で探したらいかがですか？

> 結果の(n_q,↑)(n_-q,↓)という項で、qの時に↑、-qの時に↓が
> 残る理由が分かりません。（パウリの排他則か何かでしょうか？？？）

ｑの時に↓、－ｑの時に↑でもいいんです。ｑについて和をとるわけですから。そもそもハバードが片方の演算子は↑、もう片方は↓に
なっているでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。

いろいろと勘違いしながら考えていました・・・。

回答No.2

leo-ultra

exp(iqri)とexp(iq'ri)を一緒にして下さい。
exp(i(q+q')ri)

これをΣq'する。

ヒント：デルタ関数

補足

q+q'=0の時のみ値が残ってくる理由を考えてみたのですが、

q+q'の範囲は第一ブリュアンゾーン（第２？）で
q+q'の和を実行した時に、q+q'=0を対称にして正負の項
でキャンセルされるということでしょうか？

またNo.1の方への補足にも書いたのですが、
結果の(n_q,↑)(n_-q,↓)という項で、qの時に↑、-qの時に↓が
残る理由が分かりません。（パウリの排他則か何かでしょうか？？？）

どうかご指摘、ご教授お願い致します。