logの計算について

質問

xは自然数で、x^20は75桁の数である
(1)
10^(1)≦x^20＜10^((1)+1)
であるから
(2)≦log10x＜(2)+1
となり、xは(3)桁の自然数である

(2)
x^4は(4)桁の自然数であり、1/x^2を少数で表すと、少数第(5)位にはじめて0でない数字が表れる。

(1),(2),(3),(4),(5)の穴埋め問題なんですけれど解き方が分かりません。
教えてください。お願いします！

回答No.1

info22 · ベストアンサー

あなたの解答が何も書いて無いので
ヒントだけにします。

(1)
2桁の数だと
10～99=100-1
ですね。10=10^1,100=10^2=10^(1+1)
したがって、
10^1≦(10～99)＜10^2
さて、75桁の自然数（正の整数）だと
どうなりますか？
10^(75-1)≦(７桁の自然数)＜10^75

(2)
10^(75-1)≦x^20＜10^75
74log_10(10)≦20log(x)＜75log_10(10)
74≦20log(x)＜75
74/20≦log(x)＜75/20
3.7≦log(x)＜3.75
3＜3.7≦log(x)＜3.75＜4=3+1
4桁の自然数？

(3)
74≦20log(x)＜75
74/5≦4log(x)＜75/5
14.8≦4log(x)＜15
14＜14.8≦log(x^4)＜15=14+1
15桁の自然数？

回答No.2

fef

2 桁の自然数とは 10 以上 100 未満の自然数のことであり，
3 桁の自然数とは 100 以上 1000 未満の自然数のことですよね．
これを言い換えると，自然数 x に関して
　x が 2 桁　<=>　10^1 <= x < 10^2,
　x が 3 桁　<=>　10^2 <= x < 10^3
となります．
4 桁でも 5 桁でも同じように考えることができ，
結局，一般に
　x が n 桁　<=>　10^(n-1) <= x < 10^n
が成り立ちます．

今回は x^20 が 75 桁の数なのですから，
　10^74 <= x^20 < 10^75.
これで，(1)は埋められますよね．

さて，上で述べたことは，逆に言うと，
桁数が知りたければ，10^n の形に書き直して，n を見ればよいということです．
n より大きい整数のうち，最小のものが桁数を表します．
よって，自然数 x の桁数を求めるには，x が 10 の何乗かを調べればよいのです．
このようなときに役立つのが対数でしたね．
底が 10 の対数（常用対数）を作用させれば，与えられた数が 10 の何乗なのかわかります．
そこで，先ほどの不等式に log_10 を作用させましょう．

不等式 x < y に log_a を作用させると，
底 a が 1 より小さければ不等号が逆になって log_a x > log_a y となり，
底 a が 1 より大きければ不等号の向きは変わらず log_a x < log_a y となるのでした．
今回は底が 10 であり，1 より大きいので不等号の向きは変化しません．
つまり，
　log_10 10^74 <= log_10 x^20 < log_10 10^75
となります．

ところで，対数の基本的な性質（というか定義ですが）として，
　log_a a^x = x
が成り立つのでしたね．
したがって，
　log_10 10^74 = 74
であり，
　log_10 10^75 = 75
です．
また，別の性質として，
　log_a b^x = x * log_a b
も成り立ちましたね．
したがって，
　log_10 x^20 = 20 * log_10 x
です．

以上から，不等式
　74 <= 20 * log_10 x < 75
が導かれ，(2), (3)が埋まります．

(4), (5)もほとんど同じ考え方です．
頑張ってください．