指数の問題

質問

こんにちは、高1の者です。
今学校で、指数関数をやっていて、下のような問題が
ありました。

0<a<b<1をみたす、実数a,bについて
a^(1/b)　と　b^(1/a)
の大小を比較せよ

ここで、これを微分を使って解く事はできますでしょうか？
違った見方から解いてみたいと思いまして・・・
よろしくお願いします。

回答No.4

info22

#3です。
応答が無いですが、どうしましたか？

分かりませんか？
具体的なa,bの数値で確認してみましょう。

> 0<a<b<1の範囲で
> a^a=b^bの時 a^(1/b)=b^(1/a)
(a,b)=(0.17700163,0.6)の時
a^a=0.7360219228...≒b^b=0.7360219228...
a^(1/b)=0.0557993032...≒b^(1/a)=0.0557993032...
ですので合っていますね。

> a^a<b^bの時 a^(1/b)<b^(1/a)
(a,b)=(0.4,0.6)の時
a^a=0.6931...<b^b=0.7360...
a^(1/b)=0.2171...<b^(1/a)=0.2788...
ですので合っていますね。

> a^a>b^bの時 a^(1/b)>b^(1/a)
(a,b)=(0.1,0.4)の時
a^a=0.7943...>b^b=0.6931...
a^(1/b)=0.00316...>b^(1/a)=0.0001048...
ですので合っていますね。

なお、a^a=b^bを
b=f(a)の陽関数の形に直すこと
は初等関数の範囲ではできませんが
特殊関数のランベルトのW関数を使えば
b=a*log(a)/W(a*log(a))と表せます。

回答No.3

info22

解答はお分かりですか？
自分で提案した方法は、他の方が言われる様に
まず自分でやってみて下さい。そして補足に書いて質問して下さい。

参考までに私が解いた結果では以下のようになりました。

0<a<b<1の範囲で
a^a=b^bの時 a^(1/b)=b^(1/a)
a^a<b^bの時 a^(1/b)<b^(1/a)
a^a>b^bの時 a^(1/b)>b^(1/a)

注）x^x=y^yの曲線がどんな曲線になるかは陰関数のグラフが掛けるグラフィックソフト（例えばGRAPESなど）を使って確認下さい。

回答No.2

noname#77845

「ここで、これを微分を使って解く事はできますでしょうか？」
まずは、やってみましょう。

補足

説明不足でした、すいません。
もちろん自分で解こうとして、双方の対数をとったり、
考えてみたのですが、全然ダメです。
アプローチのしかたがわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_

>違った見方から解いてみたいと思いまして・・・
なら自分で解けばいいのに。