伝熱に関して、表面温度の時間変化が分かりません。

質問

伝熱に関して分からないので、質問します。

一様に温度t0[℃]の厚さL、断面積Aの板がある。
今、この板の片面を一定温度t1(t1>t0)に保つ。もう一方の面は空気(温度t0[℃])と接している。
このとき、低温側(空気と接する）面の表面温度は時間に対してどのように変化するか教えていただきたいです。
表面温度tの時間変化を表す式が知りたいです。

分かる方よろしくお願いします。

回答No.5

noname#70519

気がついた点に修正を施し、最初から再度、詳しく計算し直してみます。
詳細な条件を記して頂き、どのようにモデルをイメージすべきか分かりました。
しかし、低温側の温度が上昇するにつれ、放熱量が増すため、その影響も含めるには
新たな微分方程式を立て、それも含めた連立方程式を解くことになるので、
トライアンドエラー法を採用することになるでしょう。それには、実際に数値を代入することが
必要になると思います。
ここでは、放熱を仮定しない場合の低温側の温度変化を関数として表すことにします。
従って示して頂いたパラメーター等を使っておりません。
ご了承ください。

　　----　　

温度を T、時間を t で表します。
時刻 t 、高温に接する板の面から測った長さ x (0≦x≦L) における熱の移動を考えます。

板の x=0 の端面は、一様に温度 T1 に保たれていると考えると、熱は厚さの方向、低温側
へ流れます。
基礎式は
∂T(x,t)/∂t=D{∂^2T(x,t)/∂x^2}
Dは拡散係数です。

ここで、T(x,t) は、バックグランドとしての外気の温度、T0 を差し引いた温度とします。

T(x,t)=X(x)・τ(t) と表されるとすると
{dτ(t)/dt}/τ(t)=D{∂^2X(x)/∂x^2}/X(x) と変形でき
異なる変数の関数が両辺にあるので、その値は定数に等しいはずです。
厚み方向に対する温度変化の曲率が負なので、その定数を負とします。その定数を -D・B^2
とすると

D{∂^2X(x)/∂x^2}/X(x)=-D・B^2　 　　 （1）
{dτ(t)/dt}/τ(t)=-D・B^2　　　　　　　　　（2）

（1）からは
{d^2X(x)/dx^2}+B^2・X(x)=0

X(x)=C_1・cos(B・x)+C_2・sin(B・x) とすると　(C_1、C_2 は定数です）
x=0 において、X(0)=C_1+C_2 であり、これは、X(0)・τ(0)=T1-T0 に等しく、最大値で
なければなりません。
そして、dX(x)/dx=-B・C_1・sin(B・x)+B・C_2・cos(B・x) で、x=0 において極値を取るので、
dX(x)/dx|[x=0]=B・C_2=0、これから C_2=0
∴　X(0)・τ(0)=(C_1+C_2)・τ(0)=C_1・τ(0)=T1-T0 であり、
X(x)・τ(0)=(T1-T0)・cos(B・x) となります。

ｘ=L において、X(L)・τ(0)=(T1-T0)・cos(B・L) で、t=0 のとき T0 に等しいので、
(T1-T0)・cos(B・L)=T0-T0=0
これから、cos(B・L)=0 であり、B=(π/2)/L となります。

しかし、余弦が 0 となるのは、π/2 だけではありません。
cos[{(2n+1)/2}π] （ｎは整数） も 0 となります。

つまり、B=(π/2)/L、(3π/2)/L、(5π/2)/L、または ・・・
です。　　　　　　　　　　　　　　　　（*）

さて、（2）は、x～x+dx の微小部分における熱の出入りに関係しています。
{dτ(t)/dt}/τ(t)=-D・B^2　を解くと
τ(t)=τ(0)・e^(-D・B^2・t)

これは、厚み方向に対する温度変化の曲率が負なので、場所 x の部位からの
熱の逸散を示しており、τ(t) の τ(0) からの変化分、τ(0)-τ(t) は
τ(0)-τ(t)=τ(0)-τ(0)・e^(-D・B^2・t)
　=τ(0)・{1-e^(-D・B^2・t)}　　　　　（**）
となります。

これが x=0 の端面から出た熱が x>0 の部位に伝えられ、その部位の温度上昇に関わる分で、
時定数、1/(D・B^2) で時間と共に増加することを示しています。

（*）で B の取りうる値が無数にあると述べましたが、最も小さいものは (π/2)/L であり、
それ以外のものは、（**） の形からして τ(0)-τ(t) を急速に τ(0) に近づけます。
最も緩やかに変化させるのが変化を支配し、その B は、(π/2)/L です。
これが基本モードとなります。従って、基本モードのみを採用することにします。

結局、T(x,t) は、
T(x,t)=X(x)・{τ(0)-τ(t)}={X(x)・τ(0)}・{1-e^(-D・B^2・t)}
　　={(T1-T0)・cos（B・x)}・{1-e^(-D・B^2・t)}
となり、外気の温度を加味した（実測できる） x=L における温度、Tc は、

Tc=(T1-T0)・cos（π/2)・{1-e^(-D・B^2・t)}+T0
　=(T1-T0)・{1-e^(-D・B^2・t)}+T0
　ただし、B=(π/2)/L

となります。

回答No.4

noname#70519

＃1 では後半19行目以降、T0 とT1 を逆に書いてしまいました。
入れ替えて読んでください。（ここではその必要はありません）

> 低温側の温度は時間に対して
> T(L,t)=T1・e^(-D・B^2・t)・cos(B・L)
> で表わされるように思えるのですが、なぜ違うのですか？？

結果がモデルと合わないのは明らかです。
・ e^(-D・B^2・t)　←　高温側が一定に保たれているので、低温側が時間と共に
　温度が上昇しなければならないのに、下がっていく。
　{1-e^(-D・B^2・t)}・τ(0)　であれば、時間と共に徐々に上昇していきます。

・ cos(B・L)　←　以下に説明します。

D{d^2X(x)/dx^2}/X(x)=-D・B^2 　　　　（2）
より
{d^2X(x)/dx^2}+B^2・X(x)=0
という式を得ます。
これの解は x=0 において最大値を取るので、cos の形になるように思えますが、
＃2 で書いたように、低温側からの放熱を考えると、境界条件として
x=L において T0 として良いといえるかどうか、分かりません。
一般に、（2）のヘルムホルツ型の微分方程式の解には、sin、cos の単純な解
（今の場合は cos(B・x) ですが）だけでなく、高調波 sin(n・B・x)、 cos(n・B・x)
（ｎは正整数）なども含まれていて、それらの各モードが時間との関係でどのように
関わるか不明なのです。普通は基本モードと呼ばれる最も簡単な解が残るので
今の場合もそうであろうと察しは着くのですが、条件が不明なので明らかにでき
ません。
もし、低温側からの放熱が無視でき、基本モードが採用できるのなら、

解は、T(L,t)=T1・{1-e^(-D・B^2・t)}・cos(B・L)
ただし、B={Arccos(T1/T0)}/L

となるのではないでしょうか。

補足

何度も回答ありがとうございます。
しかし、
>解は、T(L,t)=T1・{1-e^(-D・B^2・t)}・cos(B・L)
>ただし、B={Arccos(T1/T0)}/L
ではt=0で温度が0になってしまいます。

質問を詳しく書こうと思いますので、再度ご教授お願いします。

「空気(温度T0)中に厚さL、断面積A、熱伝導率λ、熱コンダクタンスΛ、拡散係数Dの板(一様に温度はT0)がある。
　今、板の片方の面がt=0で瞬間的に温度がThになったとする(以後、この高温側の面の温度Thは一定とする)。
　熱はもう一方の向かい合った低温側の面(温度Tc(t)、T(0)=T0)から熱伝達係数hcで空気中へ放熱される
（この放熱により空気の温度は変化しないものとする）。
ここで、熱は側面から放熱されないものとする(つまり、熱はx軸方向のみに伝わる)。

このとき、低温側の温度Tc(t)はどのような関数となるのか知りたいです。」

お願いします。

回答No.3

noname#70519

#1です。
一部訂正させてください。
厚み方向に対する温度変化の曲率が負なので
{dτ(t)/dt}/τ(t)=D{d^2X(x)/dx^2}/X(x)=-D・B^2
とすべきでした。

そして、τ(t) は温度の変化量を変数とすべきなので
δτ(t) =τ(0)-τ(t) とします。
τ(0) は高温側の温度 T1 と、τ(0)・X(0)=T1 の関係にある量です。

（1）からは
{dτ(t)/dt}/τ(t)=-D・B^2 より
-{dδτ(t)/dt}=-D・B^2・{τ(0)-δτ(t)}

これを解いて、
δτ(t)={1-e^(-D・B^2・t)}・τ(0)
時間の経過と共に温度が増加し、限りなく高温側の温度に近づいて
いくことを示しています。

しかし、この解は、高温側の面から放熱があり、その効果は高温になる
ほど大きくなることを考慮すると、高温側の温度への接近にも限界があるので、
大体の傾向を表すものの現実的な解ではありません。

（2）についての先の記述はお忘れください、物質の拡散の場合と混同
しておりました。

補足

ご教授ありがとうございます。
しかし、低温側の温度は時間に対して

T(L,t)=T1・e^(-D・B^2・t)・cos(B・L)
ただし、B={Arccos(T0/T1)}/L

で表わされるように思えるのですが、なぜ違うのですか？？
再度ご教授願いたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

inara1

この問題は熱伝導ではなく熱伝達なので、空気と板が接している面（板側の面）の温度は t0 ではありません。

また、流体（空気）がからむ場合、流体と接している面での熱伝達係数が分からないと計算できません。
熱伝達係数は、対流が強制対流なのか自然対流なのかで異なりますし、自然対流でも、流体と接している面が鉛直方向なのか、それとは垂直なのかで違いますし、垂直の場合でも、空気と接している面が上面なのか下面なのかで熱伝達係数が異なります。

以下の情報を追加してください。
　　・流体と接している面の熱伝達係数 h [W/m^2/K]
　　・板の初期温度分布 T0(x)
　　・一定温度 t1 になっている位置は x = 0 なのか x = L とするのか
　　・板の熱伝導率 k [W/m/K]
　　・板の密度 ρ [kg/m^3]
　　・板の比熱 cp [J/kg/K]
k, ρ, cp については未知数のままでも計算できます。

回答No.1

noname#70519

一次元の熱伝達ですね。温度を T、時間を t で表します。
時刻 t 、高温に接する板の面から測った長さ x (0≦x≦L) における熱の移動を考えます。

板は一様に温度 T1 に保たれていると考えると、熱は厚さの方向、低温側へ流れます。
基礎式は
∂T(x,t)/∂t=D{∂^2T(x,t)/∂x^2}
Dは拡散係数です。

T(x,t)=X(x)・τ(t) と表されるとすると
{dτ(t)/dt}/τ(t)=D{∂^2X(x)/∂x^2}/X(x) と変形でき
異なる変数の関数が両辺にあるので、その値は定数に等しいはずです。
その定数を D・B^2 とすると

{dτ(t)/dt}/τ(t)=D・B^2　　　　　　　　　（1）
D{∂^2X(x)/∂x^2}/X(x)=D・B^2　　　　 （2）

（1）より
τ(t)=τ(0)・e^(D・B^2・t)
（2）より
X(x)=X(0)・cos(B・x)
となります。

従って、T(x,t)={τ(0)・e^(D・B^2・t)}・{X(0)・cos(B・x)}

t=0、x=0 において T0、x=L において T1 ですから、
T(0,0)={τ(0)・e^(D・B^2・0)}・{X(0)・cos(B・0)}=T0
　τ(0)・X(0)=T0
T(0,L)={τ(0)・e^(D・B^2・0)}・{X(0)・cos(B・L)}=T1
　τ(0)・X(0)・cos(B・L)=T1
∴　T0・cos(B・L)=T1
これから B={Arccos(T1/T0)}/L

故に、T(x,t)=T0・e^(D・B^2・t)・cos(B・x)
ただし、B={Arccos(T1/T0)}/L　

となります。