フィンの伝熱 境界条件がわかりません

質問

次のようなフィンを考えます．

フィンの内部は熱伝導，フィンの表面は対流伝熱するものとし，輻射は考えません．フィンの周りの流体の温度は一定とします（流体は速く流れる）．

このとき，フィン（有限の長さ）の先端が「対流によって放熱する場合」の境界条件を教えてください．
単純に，先端温度＝流体温度でいいのでしょうか？

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

式(1)はフィン先端でも強制空冷されている場合の式です。その式の h がフィン先端での熱伝達係数ですので、その h をゼロとすればフィン先端を断熱したことになります。m に含まれる h はフィン側面での熱伝達係数です。

フィン先端でも強制空冷されている場合の境界条件は
　　　h*θ(L) = -k*dθ(L)/dx --- (a)
になります。θ(x) は規格化温度でθ(x) = { T(x) - Tf }/( T0 - Tf ) の意味です。

【なぜ式(a)が境界条件か】
フィン先端（ x = L ）で フィンから出て行く熱量は -A*k*dT(L)/dx、フィンから流体がもらう熱量は A*h*{ T(L) - Tf } で、これが互いに等しいので
　　　A*h*{ T(L) - Tf } = -A*k*dT(L)/dx
　　　→ h*{ T(L) - Tf } = -k*dT(L)/dx
T(x) = Tf + ( T0 - Tf )*θ(x) なので
　　　T(L) - Tf = ( T0 - Tf )*θ(L)
　　　dT(L)/dx = ( T0 - Tf )*dθ(L)/dx
　　　→ h*θ(L) = -k*dθ(L)/dx
これが θ(x) に関する境界条件になります。

【式(1)の導出（途中まで）】
最初からやると大変なので、以下の微分方程式から始めます。
　　　d^2 θ/dx^2 - m^2*θ = 0
この解はθ(x) = C1*exp( m*x ) + C2*exp( -m*x ) になります。境界条件は
　　（A） フィン根本で T(0) = T0、つまり θ(0) = 1
　　（B） フィン先端で h*θ(L) = -k*dθ(L)/dx
境界条件(A)から
　　　C1 + C2 = 1 --- (b)
dθ(L)/dx = m*{ C1*exp( m*x ) - C2*exp( -m*x ) } なので、境界条件(B)から
　　　h*{ C1*exp( m*L ) + C2*exp( -m*L ) } = -m*k*{ C1*exp( m*L ) - C2*exp( -m*L ) } --- (c)
式(b)より C2 = 1 - C1 なのでこれを式(c)に代入すればC1の値が出ます。C1が出たら C2 = 1 - C1 からC2の値も出ます。それを θ(x) = C1*exp( m*x ) + C2*exp( -m*x ) に代入して整理し、T(x) = Tf + ( T0 - Tf )*θ(x) を使って T(x) を求めれば式(1)になります。

お礼

再びの回答ありがとうございます．
とても丁寧な解説で理解できました．

回答No.1

inara1

フィン先端の面積は側面の面積に比べて小さいので、普通は断熱条件（dT/dx=0）で考えます。
先端温度=流体温度となるのは、フィンが充分長い場合で、そうでない場合は先端を断熱条件（先端での温度勾配が０）として解きます。

フィンの長さを L (m)、流体温度（無限遠）を Tf 、フィン根本温度を T0 としたとき、フィン根本から x (m) の距離での側面温度を T(x) は、先端を断熱条件としたとき
　　　T(x) = Tf + ( T0 - Tf )*cosh{ m*L*( 1 - x/L ) }/cosh( m*L )
となります。
　　　m = √{ ( h*P )/( k*A ) }
　　　h：フィン側面での熱伝達係数 (W/m^2/K） → 流体の熱物性と流速に依存
　　　P：フィン断面の周囲長（ = 2*W*b ） → W：フィン幅(m)、b：フィン厚さ(m)
　　　k：フィンの熱伝導率 (W/m/K）
　　　A：フィンの断面積 (m^2)
先端の温度は
　　　T(L) = Tf + ( T0 - Tf )/cosh( m*L )
ですが、フィンが充分長い場合（Ｌ → ∞）、cosh( m*L ) → ∞ なので、T(L) → Tf （流体温度）となります。

お礼

回答ありがとうございます．

質問文には書いていなかったのですが，実は対流によって放熱する場合の「解」だけはわかっています．
解は，
T(x) = Tf + ( T0 - Tf )*[cosh{ m*L*( 1 - x/L ) + (h/m*k) * sinh{ m*L*( 1 - x/L )}] / { cosh( m*L ) + (h/m*k) * sinh( m*L ) }・・・(1)
です．

<<フィン先端の面積は側面の面積に比べて小さいので、普通は断熱条件（dT/dx=0）で考えます。

A << P なのでｍが十分大きいことになり，式(1)のh/m*k を h/m*k→0にすれば回答者様の答えに一致します．
つまり，対流によって放熱する場合でもA << Pなら先端は断熱として考えてよいことが式的にも明らかになりました．

このこと自体，とても参考になることなのですが，式(1)の導出に必要な境界条件は未だにわかっていない状態です．
この境界条件はどのようなものなのでしょうか．