不等式

質問

e^x > 1 + x + (1/2!)x^2 + ... + (1/n!)x^n
この不等式を証明するのにマクローラン展開を使用せずに解こうと思うとどうすればよいのでしょうか？

教えてください。

回答No.1

noname#101087

>e^x > 1 + x + (1/2!)x^2 + ... + (1/n!)x^n　　…(Q)
>この不等式を証明するのにマクローラン展開を使用せずに解こうと ....

本質的にマクローラン展開を不使用なのか、疑問は残りますけど .... 。

f(x) = e^x について、f(x) の k回微分を f<k>(x) と書きましょう。
・x > 0 ： f<k>(x) > 0　ただし、0≧k≧n　から(Q)証明できそう。

問題は x = 0, x < 0 の場合。
・x = 0 : 明らかに(Q)不成立。
・x < 0 ： e^(x) = 1/(e^|x|) < 1/{1 + |x| + (1/2!)|x|^2 + ... + (1/n!)|x|^n} らしいから、(Q)不成立。