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「横倒しにした円柱容器に入ったレベルnの液体の体積」について。

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お礼率 77% (7/9)

その解き方をやさしく御教授してください。
どうぞよろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

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レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

円柱は完全に横倒しになっているんだとすれば、円柱のどこを切っても水深は同じですが、そういうご質問と解釈して良いのでしょうか?

 実際に図を描きながら読んでくださいね。
 円を描き、円に2点で交わる直線を描いて、この直線が水面を表すと考えます。直線と円弧で囲まれたDの字型の部分の面積が円の面積の何倍か、を求めれば良い。
 水は半分以下だとします。(もし半分より多く水が入っている場合は、水のない部分のDの字型の面積を円の面積から引き算すれば良い。)
 円と水面との接点(2つありますのでA,Bとする)と円の中心Cとでできる二等辺三角形を描きます。この三角形の頂角(Cでの角度)を2θとします。
円の半径をrとして、円の中心から水面までの最短距離をhとします。つまり水面を底辺とする、二等辺三角形の高さがhです。すると
h = r cos θ
三角形ABCの面積Sは
S = hr sin θ
よって、
S = (cosθ)(sinθ)r^2
です。一方、Cをかなめとする扇形ABの面積はθr^2(もしθ=π(180度)なら円の面積πr^2に一致することを確かめてください。)です。だから、求めるD字型の部分の面積Tは
T=(θ-(cosθ)(sinθ))r^2
となります。θを求めるには
θ= acos(h/r)
を使って計算します。(acosは逆三角関数(arc cosine)です。)これで普通の関数電卓かexcelで計算できる式になりました。
 このTに円柱の高さをかけ算すると、体積が求められます。

 もし半分より多く水が入っている場合は、(上記の計算では水のない部分のDの字型の面積を求めたので)Tの代わりに2πr^2からTを差し引いたものを使います。
お礼コメント
noppi-

お礼率 77% (7/9)

お礼が遅れて大変申し訳ありません。とても丁寧でわかりやすい解説、どうもありがとうございました!参考にさせてもらいます。
投稿日時 - 2001-03-02 03:24:48
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