高校数学Iの宿題が分からりません

質問

宿題で似たような問題ですが、どれも分からなくて悩んでいます。
(1)x,yが2x-y=5を満たしながら変化するとき、x^2+y^2の最小値を求めよ。
(2)2x+y=1のとき、x^2+y^2の最小値を求めよ。
(3)x+2y+3=0のとき、xyの最大値を求めよ。

答えは、(1)x=2,y=1で最小値5
　　　　(2)x=2/5,y=1/5で最小値1/5
　　　　(3)x=-3/2,y=-3/4で最大値9/8

となる解き方が分かりません。
沢山質問してしまって、本当に申し訳ありません・・・・
途中式もつけて教えていただけると、有り難いです。

回答No.1

happy2bhardcore · ベストアンサー

1つだけ教えてあげますから、あとは頑張ってください

（1）
2x - y = 5 より、移行してy = 2x -5・・・・・（ア）
ここで、a = x^2 + y^2　と置くと（ア）式より
a ＝ x^2 + (2x-5)^2
　＝ 5x^2 -20x +25
　＝ 5(x-2)^2 +5

よって、ｘ＝2のとき、aすなわちx^2+y^2は最小値5をとる。

慣れないうちは計算した後、グラフを書いて最小値などを確認してください。
また、XやY、置換した文字aなどに条件が存在しないか確認することも大切です。この場合a=x^2+y^2と置換しているので、a>0が条件ですね。

お礼

ありがとうございます！！
とても参考になりました。
(2)・(3)も(1)を参考に解きたいと思います。

ちなみに、グラフを書く場合は、xとyのグラフを書けばいいのでしょうか？
x^2とy^2のグラフとして書くべきなのでしょうか・・・
いまいち、グラフを書こうとしても書き方がピンときません・・・

お礼に質問も混ぜてすいません。

回答No.3

happy2bhardcore

＞ちなみに、グラフを書く場合は、xとyのグラフを書けばいいのでしょ＞うか？
＞x^2とy^2のグラフとして書くべきなのでしょうか・・・
＞いまいち、グラフを書こうとしても書き方がピンときません・・・

a ＝ 5(x-2)^2 +5　について調べたいので、横軸にx、縦軸がaまたはx^2+y^2のグラフを書けばいいですよ。
もっと複雑な問題になった時にグラフを用いて考えると、解くきっかけになることも結構あるので、今のうちにグラフを書く練習をしておくことが大切です。

お礼

本当にありがとうございます！！
沢山練習したいと思います。

大変お手数をお掛けしてすいませんでした。
本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#75273

(1) 2 x - y = 5 より、y = 2 x - 5
k = x^2 + y^2 とおく

k = x^2 + y^2 = x^2 + (2 x - 5)^2
　　　= ・・・・平方完成すると最小値となる、x が求まります。

求めた x を y = 2 x - 5 に代入すると、y が求まります。
求めた x , y を x^2 + y^2 に代入すると、最小値が 5 と求まります。

(2) , (3) も同様です。

お礼

分かりました！
計算ミスをしないように頑張って解きたいと思います。
(2)・(3)も同様に頑張りたいと思います。
今回はありがとうございました。