チャート式の問題です

質問

（問）放物線y=x^2+ax+bが点（1.-1）を通り、直線y=2x-3に接するときの定数a,bの値を求めよ。また、そのときの接点の座標をいえ。ただしa>0とする。

a=2√2
b=-2√2までは分かるんですが、その続きの答えが

このときの接点のx座標は-(a-2)/2=1-√2となる

と書いてあるのですが、-(a-2)/2の式はどこから出てきたのでしょうか？
回答をお願いします！

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

微分を使うと、いとも簡単です。
質問者様は微分はまだ習っていないと思いますが、
卒業までには習うことでしょう。

＃１様のおっしゃるとおり、
z = x^2 + (a-2)x + b + 3 = 0
と置きますが、
これの微分がゼロになるときが、ｚが極小、つまり接点となります。
zをxで微分したもの　＝　x^2 + (a-2)x + b + 3　のｘ微分
　＝　２ｘ　＋　ａ　－　２

（ｘ^2　の微分は２ｘ、　ｘの微分は１、定数の微分はゼロ　なので。）

２ｘ　＋　ａ　－　２　がゼロになるためには、
ｘ　＝　－（ａ－２）／２　＝　接点のｘ座標
と解けました。

こういう解き方もありますよ。
接点の座標を求めるということは、
y=x^2+ax+b　と　y=2x-3　の傾きが等しいポイントを探すわけですから、
つまり、微分したもの同士が等しくなる条件を求めればよいです。
２ｘ＋ａ　＝　２
ｘ　＝　－（ａ－２）／２
やはり同じ答えになりました。

さて、
微分の記号は、’ですが、
（定数）’　＝　０
（ｘ）’　＝　１
（ａｘ）’　＝　ａ
（ｘ^2）’　＝　２ｘ
（ａｘ^2）’　＝　２ａｘ
（ｘ^3）’　＝　３ｘ^2
（ａｘ^3）’　＝　３ａｘ^2
（ｆ　＋　ｇ）’　＝　ｆ’　＋　ｇ’
これだけを覚えておくだけでも、かなり役立ちます。
（上記の計算も、すべて、これらを使っています。）

高校１年の解き方で出した答えと比べることによって、検算することもできます。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございました！

回答No.1

info22

> -(a-2)/2の式はどこから出てきたのでしょうか？

> a=2√2 , b=-2√2
の時の
放物線と直線（接線）の交点（接点）のx座標ですから
x^2+ax+b=2x-3　つまり　x^2+(a-2)x+b+3=0
の重解が求めるx座標です。
重解を持つことから根の公式の√内はゼロなので
x=-(a-2)/2
が重解となり、接線のx座標になります。

お礼

分かりました！
ありがとうございました。