- ベストアンサー
集合と論理
「a,b∈R ab≧1⇒a^2+b^2≧a+bであることを証明せよ。」 この問題について私は相加相乗平均の関係を用いて a^2+b^2≧2√a^2b^2=2|ab|≧2 などと色々計算しましたが、なかなか証明できません。 証明方法についてご回答宜しくお願いします。
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 大学受験における相加平均・相乗平均の関係
相加平均・相乗平均の関係というものがありますよね 0≦a 0≦b → √ab ≦ (a+b)/2 これは大学受験でも結構使う場面があるのですが 私には、毎回かなり突拍子も無く出てくる印象があります 私は定型問題はほとんど落とさず 初見の問題でも、既知の定理を使って、かなり食いつけるようになって きたのですが、相加平均・相乗平均の関係を使うべき場面で 相加平均・相乗平均の関係を使うことを思いつかず、その問題を落とすという ことが多々あります ほかの定理では問題文から落ち着いて考えていけば その定理を使うという発想が出てくるのですが、相加平均・相乗平均の関係 を使うべき場面では、どうすればそれを使うことが思いつけるのかわかりません ab と a+b が出てきたら怪しいな ab と a+b が最小最大にからまって出てきたらかなり怪しいな という考え方ぐらいしか思いつかないのですが、それ以外にどう考えていけば 相加平均・相乗平均の関係を思い出せるようになるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相加・相乗平均は最小値を示すのでしょうか？
相加相乗平均の証明なのですが、高等学校の教科書には a>=0, b>=0の時、(a+b)^2>=(2√ab)^2で 左辺－右辺＝a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2>=0 と証明が書かれています。等号が成り立つのはa=bとなっています。 でも、相加相乗平均が最小値になるとはいえないと思うんですよ。 例えば (a+b)^2>=(√2ab)^2とします。 左辺－右辺＝a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2>=0となり a+b>=√2abということも言えます。等号条件はa=b=0となります 。2√ab>√2abですから相加相乗平均が最小値には思えません。 しかし、2^X+2^(-X)の最小値を求めようとした時。相加相乗平均では2以上になりますが、先ほどの方法では√2以上になります。 ただし、2^Xも2^(-X)も0にはなりませんし、等号条件も成り立ちませんので先ほどの方法では間違っていると思えるのですが、根拠がわかりません。分かる方がいたら是非教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明 相加平均 相乗平均
ab>0のとき(a+1/b)(b+1/a)≧4を証明 この問題の解き方を教えてください。 相加平均相乗平均がいまいちわかってないので詳しくしてくれると助かります^^;
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学IIの問題についてです。至急よろしくお願いします。
問 a>0、b>0のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。 a/b＋b/a≧2 この問題について、二つ質問させていただきます。 (1)この問題は相加平均と相乗平均についてですが、 相加・相乗平均であるのは、 「問の不等式（a/b＋b/a≧2）が、a＋b/2≧√abもしくはa＋b≧2√abの形であるから」という解釈で正しいですか？ (2)また、等号成立は「a/b＝b/aすなわちa=b」ですが、 こちらは「a＋b/2≧√abもしくはa＋b≧2√abの等号が成り立つのは a=bのときであるから」という解釈で正しいですか？ ご指摘よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 相加・相乗平均を使う不等式
相加相乗平均を使う不等式の問題で分からないものがあります。 a,b,c,dは全て正の数として ＊(a+2/b)(2b+1/a)≧9 を証明する問題では、左辺を展開した後に相加相乗平均を使って証明をしてますよね。 ですが ＊(a+2b)(2c+d)≧8√abcd のときには a+2b≧2√2ab 2c+d≧2√2cd を証明して二つをかけ合わせますよね？ このとき方の違いはどうしてでしょうか？ 上の問題の方では、下のようなとき方をしてはいけないと習った気がするのですが・・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学IIの問題についてです。至急よろしくお願いします。
数学IIの問題についてです。至急よろしくお願いします。 問 a>0、b>0のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。 a/b＋b/a≧2 問の不等式が相加・相乗平均の関係であるのは、 「問の不等式（a/b＋b/a≧2）が、a＋b/2≧√abもしくはa＋b≧2√abの形であるから」という説明を学びました。 ここで質問なんですが、 なぜ「問の不等式（a/b＋b/a≧2）が、a＋b/2≧√abもしくはa＋b≧2√abの形である」と言えるのですか？ 深く理由がなければ、問の不等式が相加・相乗平均の関係であることの説明は「問の不等式（a/b＋b/a≧2）が、a＋b/2≧√abもしくはa＋b≧2√abの形であるから」で正しいですか？ よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 相加平均と相乗平均の関係の意味
（相加平均）≧(相乗平均)はわかりました。 さらに、これを利用すると様々な不等式が証明できることもわかりました。 （分かったといっても初歩的なところですが） ただ、証明問題が、印象として、(相加平均) ≧ (相乗平均)を使わせるための証明問題というように感じてしまいます。 それは、(相加平均) ≧ (相乗平均)の意味を理解していないからだと思うのですが、この関係はそもそもどんな意味があるのでしょうか。 漠然とした質問ですがお教えください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
