集合と論理

質問

「a,b∈R　ab≧1⇒a^2+b^2≧a+bであることを証明せよ。」

この問題について私は相加相乗平均の関係を用いて

a^2+b^2≧2√a^2b^2=2|ab|≧2

などと色々計算しましたが、なかなか証明できません。

証明方法についてご回答宜しくお願いします。

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

＞この問題について私は相加相乗平均の関係を用いて

a＞0、b＞0という条件がない以上、相加平均と相乗平均の関係は使えない。

では、どうするか？

a^2+b^2≧a+b　→　（a-1/2）＾2＋（b-1/2）＾2≧（1/2）＾2　‥‥(1)
ab≧1　‥‥(2)
(1)と(2)をab平面上に図示すると、明らか。

（別解）

a+b＝m、ab＝nとすると、n≧1、m＾2-4n≧0　‥‥(1)
a^2+b^2-（a+b）＝m＾2-2n-m　‥‥(2)であるから、(1)の条件で(2)≧0が成立する事を証明すればよい。
ab平面上に図示すると、すぐ分るだろう。

回答No.5

take_5

外野が煩いから、実数解の条件がいらない解を披露しよう。。。。。笑

a＋b＝x、a-b＝yとすると、2a＝x＋y、2b＝x-yであるから、ab≧1よりx＾2-y＾2≧4　‥‥(1)

（注）aとbは実数から、当然にもxとyも実数。従って、実数解の条件は不要。

a^2+b^2-（a+b）＝（1/2）*（x＾2-2x＋y＾2）である。
y＾2≧0より、x＾2-2x＝x（x-2）≧0が示されると良い。
ところが、(1)よりx≧2、or、x≦-2であるから、いずれにしてもx＾2-2x＝x（x-2）≧0。　（おわり）

回答No.4

take_5

私へのレスですか？

＞つまり判別式Ｄ=x^2-4y≧0の範囲の(x,y)しか取れないということです。
＞この制約条件を書かないと減点対象です。

書いてますけれど。↓
n≧1、m＾2-4n≧0　‥‥(1)

回答No.3

Sin0

take_5さんのようにx=a+b,y=abと置き換える方法はよく使うので推奨します。

回答に書いてありますが、この置き換えの際にx,yが実数(a,b∈Ｒ)
をとる条件として
「t^2-(a+b)t+ab=t^2-xt+y=0の２解a,bが実数解をもつ」という制約がかかるのに注意してください。つまり判別式Ｄ=x^2-4y≧0の範囲の(x,y)しか取れないということです。

この制約条件を書かないと減点対象です。
余談失礼しました。

回答No.2

take_5

書き込みミス。。。。。。笑

＞ab平面上に図示すると、すぐ分るだろう。

　　　　　　↓

mn平面上に図示すると、すぐ分るだろう。
m＾2-2n-m＝kとすれば、k≧0を示すだけ。