- ベストアンサー
角運動量の合成について
はじめまして。最近量子力学について勉強を始めたのですが、 角運動量の合成のところでいきなりつまづいてしまいました。 一般的な角運動量J1,J2を合成するとき、J=J1+J2であり、 j=j1+j2, j1+j2-1,..., |j1-j2|の(2j1+1)*(2j2+1)通りになることを 参考書で知りました。 今、j1=1, j2=2の場合を考えているのですが、その参考書にはJの図として 以下のようなものが載っていました。 http://a-draw.com/uploader/upload.cgi?mode=dl&file=2889 パスがかかっています。DLkey:J 3*5=15通りになることは理解できますし、図の1-aと2-aが合成されて5-a(Ｚ方向成分:3)となることは予想がつきます。 しかし、1-aから2-eまでのどれとどれが組み合わさって、右端の図のように描けるのかがわかりません。 例えばＺ方向成分:2となるものに関しては、1-aと2-b、1-bと2-aが考えられますが、それがどのような決まりごとによって4-aあるいは5-bとなっているのかが理解できていません。 とても基本的なことだと思いますし、私の理解の仕方が根本的に間違っているのかもしれませんが、よろしければご教示願いないでしょうか。
- masashi09
- お礼率31% (39/123)
- 物理学
- 回答数3
- ありがとう数2
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
|j,m>という状態を、あえて古典的なベクトルだと解釈するのなら、（J^2の固有値がj(j+1)でJzの固有値がmなので)長さが√(j(j+1))でｚ成分がmであるような「ベクトル」になりますよね。その図は、こう考えたときのベクトルが描かれているだと思います。 >図の1-aと2-aが合成されて5-a(Ｚ方向成分:3)となることは予想がつきます。 図の右方向をｘ軸にしたら、 1-aのベクトルは(1,0,1)で、2-aのベクトルは(√2,0,2) となります。角運動量の合成とか仰々しい名前がついていますが、所詮はベクトル和ですよね。 1-aと2-aのベクトルを足すと(1+√2,0,3)になるわけですが、5-aのベクトル＝(√3,0,3)とは一致しません。 それでも、1-aと2-aを合成すると、5-aになりそうな気がしますか？ 実際には、1-aのベクトルと2-aのベクトルの和は5-aのベクトルになっているわけですが、上の議論は何がよくなかったのだと思いますか？ ちなみに、|j,m>という状態のJxの期待値はいくらでしたっけ？ その結果は、上の議論で例えば、1-aのベクトル(=|1,1>)を(1,0,1)というベクトルだと思った事とは矛盾しないのでしょうか？
その他の回答 (2)
- eatern27
- ベストアンサー率55% (635/1135)
>それが角運動量の考え方にどのように適用されるのかは >理解できていません。 まぁ、重ねあわせを古典論で理解するのは無理でしょうね。 でも、J=J1+J2という２つのベクトルの和を指定しても、J1,J2の個々のベクトルは決まりませんよね。その事を反映して、重ね合わせになっているのだ、と理解する事はできるでしょう。
お礼
何度も回答して頂いてありがとうございます。 良く考えてみて、やはりこの図は重ねあわせを反映しているということが理解できました。 いつか再び質問させていただくこともあるかと思いますが、その時もどうぞよろしくお願いします。
- eatern27
- ベストアンサー率55% (635/1135)
あ、＃１と関係ない話になってしまいますが、念のために確認しておきたいのですが、 例えば、 1-aと2-bの組み合わせと,1-bと2-aの組み合わせの一方が4-aで他方が5-bとなっているのではなく、 4-aも5-aも、その2つの組み合わせの線形結合だ、ということはＯＫでしたか？
補足
そこを全く理解していないことに今気づきました。 線形結合の数学的な意味は知っているのですが、 それが角運動量の考え方にどのように適用されるのかは 理解できていません。
関連するQ&A
- 角運動量の問題について
現在、大学１年で基礎力学を履修しているものです。よろしくお願いします。 問題は、「質量ｍの質点が速度ｖで位置ｒを通過するとき、ある点（位置Ｒとする）のまわちの角運動量Ｌは｛Ｌ＝ｍ（ｒ－Ｒ）×ｖ｝である。したがって位置ｒが時刻ｔの関数として与えられるとき、角運動量は、｛Ｌ＝ｍ（ｒ－Ｒ）×ｖ｝の式を使って計算することができる。質量ｍの質点が図のような運動をしているとき、指定された点のまわりの角運動量を求めよ。（（a),(b)の各場合において、ベクトルの外積を計算することによって角運動量を（Ｌｘ、Ｌｙ，Ｌｚ）の形で成分表示せよ。そのあと角運動量の大きさと向きを答えよ。ただし図において奥から手前の向きを＋ｚの向きとする）」 （a)xy平面で原点を中心とする円運動｛ｒ＝（acosωｔ,asinωｔ,0)｝をしている質点において、原点のまわりの角運動量（ｍ、a、ω、ｔのうち必要な文字を使ってあらわせ）ただしa、ωはともに正の定数。 (b) （a)と同じ運動をしている質点について、点Ａ（－a,0,0)のまわりの角運動量（ｍ、a、ω、ｔのうち必要な文字を使ってあらわせ） という問題です。（a)の外積は｛ｒ＝（acosωｔ,asinωｔ,0)｝を微分して、ｖを求めればわかるんですが、残りの角運動量の大きさと向きというのがわかりません
- 締切済み
- 物理学
- 角運動量・トルクを使わずに解く方法
トルク、角運動量の変化の関係式を使わずに、この問題を解きたいと考えています。添付の図をご覧下さい。球Aが糸でつながれており、点Oに杭があり、糸は点Oを通ってB点で右方向に引っ張られています。したがって、Aには原点方向への向きをもつ張力が掛かっております。添付の図の際、Aの速度は0.5 m/secで、AからOまでの距離は1 mでした（角度AOBは与えられておりません）。この際、１秒後の速度を求めなさい、という問題です。O周りのトルク = O周りの角運動量の時間変化、の関係を使えば、比較的簡単に解けます。Aに働く張力は常に回転中心Oへ向かっているため、トルクはゼロとなり、0秒時と1秒後の角運動量が同じであることを示せばよいです。この問題は、トルクと角運動量という概念をニュートンの第二法則 ma = Fから導き出し、その有用さを示すために与えられたものです。たしかに、トルク・角運動量の関係式を使うと比較的すんなり解けることは理解できます、しかし、一方で、直接ニュートンの第二法則からこの問題を解くことの大変・難解さを理解したいです。そこで質問なのですが、トルク、角運動量の関係式を使わずに、ニュートンの第二法則から解答をする方法はないでしょうか。トルクと角運動量の関係式がニュートンの第二法則から導かれたので、ニュートンの第二法則からでも解けると思いますが、なんとも思い浮かばず、トルク・角運動量の関係式がないと絶対に駄目なのか、と思ってしまいます。恐らく複雑なな計算式となるかと思いますが、どうか教え下さい。宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- スピン角運動量の合成則
スピン角運動量の合成則についてお聞きします。 スピン角運動量の合成則とは具体的にはどのようなものでしょうか？ 私は、酸素分子を例にあげると、 酸素原子のSの値は、S=0.1があるので、分子の場合は二つを足し合わせて S=S+S,[S+S-1],[S+S-2},[S+S-3],・・・・から S=２，１，０となると考えてるんですが、 これは正しいのでしょうか？
- 締切済み
- 化学
- 角運動量
意味がまったく分からないので、説明していただけるとありがたいです。 １．質量m[1]とm[2]の質点が一定速度v[1],v[2]で運動していて、ある時刻において質点の位置はそれぞれr[1],r[2]であったとする。 (1)このときの原点周りの全角運動量ベクトルLを与えよ。 (2)(1)の結果が原点の位置には依存せず、その質点間の距離ベクトルだけに依存しているとすれば、その条件式を与えよ。 ２．x-y平面状で質量mの質点が半径a、角速度ωで中心G周りの等速円運動をしている(左回り正)。 (1)中心G周りの角運動量ベクトルを与えよ。ただし、基本ベクトル(i,j,k)を使うこと。 (2)前問で中心Gが位置ベクトルrに固定されており、ある時刻においてこの粒子が円の中心からの一がae[r]であり、その動径方向との角度がφであったとき、原点(O)回りの角運動量の値(z方向を正)を与えよ。ただし、e[r]はGから質点への動径の単位ベクトルである。 (3)原点(O)回りの角運動量が最大になるときと最小になるときの位置とその値を与えよ。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 歳差運動（コマ）における角運動量の方向について
基本的な事と思いますが、質問をさせていただきます。 角運動量を“L”とし、位置ベクトルを“ｒ”、運動量ベクトルを“mv”としたときに、L=ｒ×mvとなると思います。その方向は、外積として定義され、“ｒ”と“mv”の両方に垂直な方向と認識しております。 しかし、教科書に掲載されているコマの歳差運動の解説によると、「こまの支点がｘ－ｙ平面上で動かないときに、角運動量の方向は重心の位置ベクトルを“ｒG”の方向と一致とする」と記載されています。そもそも、角運動量の式によれば、L=ｒG×mvとなり、“ｒG”にも垂直で、方向は一致しないのではないかと思っています。その解説をしてもらえると助かります。 さらに、支点に作用する抗力を“R”とし、その垂直成分を“RL”とした場合には、こまの重力“Mg”と等しく偶力が形成されると思います。その偶力モーメントは“N=ｒG×Mg”であり、トルクの方向は“ｒG”“ｇ”に垂直であることは理解できるのですが、そもそもモーメント（トルク）は角運動量の時間的な変化量と認識しており、モーメントと角運動量は同じ方向になるのではないかと思うのですが、併せて解説をいただけると助かります。 質問に、前提条件等の記載漏れがあるかもしれませんし、大変基礎的な質問かもしれませんが、解説のほどよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 角運動量について（大学生）
こんにちは！大学一年の男です。 いつもお世話になっています。 大学で力学の角運動量を習ったんですが、 『角運動量（angular momentum）は、運動量のモーメントを表す力学の概念のひとつで Ｌ＝ｒ×Ｐと表す。』 や『ＬはrとＰにそれぞれ垂直な方向のベクトル量』 とは、習ったんですが、それはそれでしっかり覚えとかないといけないと思いますが、 もう少し具体的に理解したいので（運動量と何が違うのかとかなど…）どなたか教えてください。 変な質問で申し訳ありません！ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 運動量と角運動量の違いと慣性モーメント
運動量と角運動量の違いと、慣性モーメントについて教えて頂けませんか？ ●運動量P P=mv ●角運動量L L=rP L=Iω ●慣性モーメントI I=mr^2 この式まではわかるのですが、運動量と角運動量が具体的にどう違うのかがわかりません。 運動量にベクトルを加えたのが角運動量だと言う事は何となくわかるのですが。 特にLのベクトル方向について、なぜ逆向きになるのかなど教えてください。 あと、慣性モーメントについては理解が出来ません。 SI単位に直すとgm^2になるのはわかりますが、m^2というと面積のことなのでしょうか？ もしそうであれば、gm^2は面積当たりの重さを表すものだと思うのですが。 手元にある資料を見てもよくわからないので、噛み砕いて説明していただけるとありがたいです。
- ベストアンサー
- 物理学
補足
自分で図を描いておいて何ですが、角運動量は各成分について同時固有状態を持たないので、jzが決まったときに他の二つが同時に決まることは無いように思います。 J1について jz=1, j=√1*(1+1)=√2 ∴√(jx^2+jy^2)=1 J2について jz=2, j=√2*(2+1)=√6 ∴√(jx^2+jy^2)=√2 つまり、半径とZ方向成分だけが確定できるのではないでしょうか？