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積分の問題です。
kumipapaの回答
質問者さんに習って、以下、∫[a,b] f(x) dx は b から a までの積分とします。 広義積分において、例えば ∫[+∞,-∞] f(x)dx = lim[R→∞]∫[0,-R]f(x)dx + lim[R→∞]∫[R,0]f(x)dx = lim[R→∞] [F(x)][0,-R] + lim[R→∞][F(x)][R,0] とたとき、右辺の2つの積分の lim[R→∞] は互いに無関係に、別々に極限が存在しなければなりません。これを、 ∫[+∞,-∞] f(x)dx = lim[R→∞]∫[0,-R]f(x)dx + lim[R→∞]∫[R,0]f(x)dx = lim[R→∞] { ∫[0,-R]f(x)dx + ∫[R,0]f(x)dx } ← こうするのは間違い = lim[R→∞] { [F(x)][0,-R] + [F(x)][R,0] } = lim[R→∞] { F(R) - F(-R) } ・・・ (2) とするのは誤りです。このような混乱を避けるために、教科書などでは ∫[+∞,-∞] f(x)dx = lim[R1→∞]∫[0,-R1]f(x)dx + lim[R2→∞]∫[R2,0]f(x)dx = lim[R1→∞] [F(x)][0,-R1] + lim[R2→∞][F(x)][R2,0] のように、2つの極限で使うパラメタを別の名前に設定している場合も多いようです。(2)の考え方では、R1 = R2 という特別な条件のもとで R1 = R2 →∞ の極限を考えることになりますので、広義積分の定義を満たしません。 区間[a,b] の積分で、x = c (a < c < b) で不連続な場合も同じです。 ∫[b,a]f(x) dx = lim[ε1→+0] ∫[c-ε1,a]f(x) dx + lim[ε2→+0] ∫[b,c+ε2]f(x) dx の右辺の極限 ε1 → 0 と ε2 → 0 は互いに無関係に 0 に近づけることを考えなければなりません。つまり、ε1, ε2 > 0 をそれぞれどのように 0 に近づけようと極限が定まるというのでなければ、広義積分は値が定まらないのです。 > ∫[-∞,-1](1/x)dxと∫[1,+∞](1/x)dxに関して、limR→∞にすると、 > limR→∞∫[-R,-1](1/x)dx,∫[1,+R](1/x)dxになって、奇関数なので同値で消えて、[-1,0)、(0,1]区間も同じ感じです。 > ただ同値になって消えるというのがあまり根拠がないので、・・・ その懸念はその通りだと思います。 ∫[-1,-∞] (1/x) dx = lim[R→∞]∫[-1,-R](1/x)dx = lim[R→∞][log|x|][-1,-R] = lim[R→∞]{ log|-1| - log|-R| } = - ∞ ∫[+∞,1] (1/x) dx = lim[R→∞]∫[R,1](1/x)dx = lim[R→∞][log|x|][R,1] = lim[R→∞]{ log|R| - log 1 } = + ∞ ですから、∫[-1,-∞] (1/x) dx + ∫[+∞,1] (1/x) dx を考えたとして、 ∫[-1,-∞] (1/x) dx + ∫[+∞,1] (1/x) dx = - ∞ + ∞ (不定である) とするのが正しく、 1/x が奇関数だから∫[-1,-∞] (1/x) dx + ∫[+∞,1] (1/x) dx = 0 とか ∫[-1,-∞] (1/x) dx + ∫[+∞,1] (1/x) dx = lim[R→∞]{∫[-1,-R] (1/x) dx + ∫[+R,1] (1/x) dx } = lim[R→∞] { log|-1| - log|-R| + log|R| - log1 } = lim[R→∞] 0 = 0 とするのは誤りです。 [-1,0), (0,1] の区間についても同様です。 ∫[0,-1] (1/x) dx + ∫[1,0] (1/x) dx = lim[a→+0]∫[-a,-1] (1/x) dx + lim[b→+0]∫[1,b] (1/x) dx = -∞ + ∞ (不定である) が正しく、 ∫[0,-1] (1/x) dx + ∫[1,0] (1/x) dx = lim[a→+0] {∫[-a,-1] (1/x) dx +∫[1,a] (1/x) dx } = lim[a→+0]{log|-a| - log|-1| + log 1 - log a } = 0 とするのは誤りです。上の不定となる例では (a,b) → (0,0) において、a, b は互いに無関係に (0,0) に近づくことを考えているのに対して、下の = 0 になってしまう間違った例では、a = b の特殊な条件下で (0,0) に近づくことを考えていることに注意です。 なお、a = b → 0 の場合、即ち、 ∫[1,-1] (1/x) dx = lim[a→+0] {∫[-a,-1] (1/x) dx +∫[1,a] (1/x) dx } = 0 というのはコーシーの主値(積分)と呼ばれるものですが、コーシーの主値が極限を持つが、広義積分が不定になる例というのが、1/x という関数だということですね。
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