イデアル

質問

こんにちは。

F_2[X] / (X^3 - 1)　のイデアルを全て求めたいのですが、わかりません。
自己流で勉強していて、ネットなどで検索したりして調べてみたのですが、あまり理解できませんでした。

解き方など、良ければ教えてください。

回答No.3

kup3kup3

こんばんは。
先のANo.2の私の回答で

>R=F_2[X]/(X＾3－1)の任意のイデアルBに対し、
φは全射準同型だから、φ^(-1)(B)はＫ[X]のイデアルになる。

のところは
「R=F_2[X]/(X＾3－1)の任意のイデアルBに対し、
φは全射準同型だから、φ^(-1)(B)はF_2[X]のイデアルになる。」
に訂正します。
また(3)の
>R={0,１,Y,Y+1,Y^2,Y^2+1、Y^2+Y,Y^2+Y+1}

のあとに、
「だだしY^3=1」を付け加えてください。
以上です。

回答No.2

kup3kup3

こんばんは。
まず、次の(1)がポイントです。
(1)
　Ｋを体とすると、「体Ｋ」上の1変数Xの多項式環
　　Ｋ[Ｘ]は単項イデアル環になります。
　これは、Ｋ[Ｘ]の割り算を多項式の次数に着目して
　行う方法で考えれば分かります。
　そこで有限体のF_2は体なので、F_2[X]は単項イデアル環である。
(2)　
　剰余環　F_2[X]/(X＾3－1)=Rとおく。

自然な全射準同型　φ:F_2[X]　→　F_2[X]/(X＾3－1)・・・（ア)
　を考える。
R=F_2[X]/(X＾3－1)の任意のイデアルBに対し、
φは全射準同型だから、φ^(-1)(B)はＫ[X]のイデアルになる。
ゆえに　
　A=φ^(-1)(B)はF_2[X]のイデアルだから単項イデアル
　になる。そしてφ(A)=φ(φ^(-1)(B))＝B

　よって　Rは単項イデアル環になる。
(3)
　XのRでの同値類をY　、つまり、Y=φ(X)とする。
　Rは有限個の次の８個の要素からなることが分かる。

　R={0,１,Y,Y+1,Y^2,Y^2+1、Y^2+Y,Y^2+Y+1}

　ゆえに　Rのイデアルをさがすには　
　Rの単項イデアルだけ探せば終わりである。
そこで次の８個の単項イデアル
{0},R,R×Y,R×{Y+1}.・・・,R×{Y^2+Y+1}の中から
探せばよい。Rのすべてのイデアルはこの８個以内である。
この中には同じものがあるかもしれないので、それを判定すればよい。
もしかして、おかしかったらこの回答に補足をつけて下さい。

回答No.1

ojisan7

ちょっと確認ですが、環F_2[X]のイデアルではなく、商環
F_2[X]/(X^3-1)　のイデアルですね。商環のイデアルを
求めるためには、商環F_2[X]/(X^3-1)が環としてどのような
構造（性質）であるかを調べなければなりません。
すぐに分かる性質の一つは、商環F_2[X]/(X^3-1)は整域では
ないことですね。
その他、質問者さんが調べて分かった結果を補足に記して下さい。