正規分布の加法性（平均値の求め方）について その２

質問

正規分布の加法性（平均値の求め方）について再び質問します。

昨日，質問して数人の方から親切な回答をいただいたのですが，私の質問の仕方が悪かったため，疑問がいま一つ解消できていません。

ここに，２種類の正規分布があるとします。話をわかりやすくするために，１つは女性の平均身長 N(NA,SA^2)，もう１つは男性の平均身長 N(NB, SB^2)とします。「女性と男性の平均身長の差」を求めるために，女性の平均身長から男性の平均身長を引いて新しい正規分布を求めたとします。このとき，新しい正規分布は，正規分布の加法性にしたがって，N(NA-NB, √SA^2+SB^2)となりますよね。

この，新しい正規分布の平均値NA-NBについてなのですが，一般的に言って女性のほうが男性より身長が低いことが多いので，この値はマイナスになると思います。でも，逆にNB-NAとすればプラスになるでしょう。この２つの正規分布は同じものと考えて良いのでしょうか。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

何が問題なのかわかりません。
平均値の値分、平行移動してるだけでは？

もっと単純に、測定値xの真の値をm、誤差eをe=（x-m）とします。
このとき、ｘの分布f(x)と、誤差分布f(e)＝f(x-m)は同じ分布でしょうか、
別の分布でしょうか?

分散をσ^2とすれば、前者はN(m,σ^2)、後者はN(0,σ^2)。

このばあい、「同じ」のさしている意味を明確にする必要があるでしょうね。

形式的には平均値が違っているので別の分布ですが、
持っている情報としては完全に同じなので、
その意味では同じ分布です。

お礼

ご回答ありがとうございます！

＞持っている情報としては完全に同じ
そうだと思います。

でも，その正規分布を表わすときは，
Ａ－Ｂなら N(－10,σ^2)になりますし，
Ｂ－Ａなら N(10,σ^2)になりますよね？
（σ^2は先の質問で表せば√SA^2+SB^2)

そうすると，たとえば「男性よりも背の高い女性の割合」を計算しようとするとき，N(－10,σ^2)と N(10,σ^2)とでは，計算結果に差異が生じることにならないでしょうか？

＞平均値の値分、平行移動してるだけ
ということは，計算結果は同じになるはずで，新しい正規分布はどちらで表しても良いということでしょうか。

要領を得ない質問ですみません。

回答No.3

Ishiwara

「同じ分布」とは言えません。
平均値が異なり、分散が等しい２つの正規分布でしょう。

お礼

Ishiwaraさん，コメントありがとうございます！
おっしゃるとおりです。本当に，そのとおり。

私の疑問は，２つの正規分布の平均値が異なってしまったら，たとえば，「男性よりも身長が高い女性の割合」を求めようとしたとき，どちらの正規分布を使うかによって答えが違ってしまうのではないか，ということだったのですが，そんなことはない，ということがわかりました。わかってしまえばあまりにも単純な疑問と誤解で，私の疑問が皆さんに伝わらなかったことが当たり前だと思いました。

あっという間に古い質問になってしまっていて驚きましたが，こんなページにまでお返事をくださってどうもありがとうございました。

回答No.2

hitokotonusi

変数の意味も考えずに確立だけをやたら振り回したらそうなるでしょうね。

Ａ－ＢとＢ－Ａの意味を考え、何を求めたいかによって積分範囲を設定する。
当たり前ですね。

お礼

ごめんなさい。せっかくのお返事ですが，理解できません。
先の例でいえば，Ａ－ＢもＢ－Ａも男女の身長の差を表しますから，表している事実は同じものでしょう。しかし，計算方法により結果にプラスとマイナスとの違いが出ますから，その違いの扱い方について知りたかったのですが，意図が伝わらないようです。
お忙しい中，お返事ありがとうございました。