[問]数列f_n(x)=xln(x+1/n)は(0,b] (b>0)で一様収束する事を示せ

質問

[問]数列f_n(x)=xln(x+1/n)は(0,b] (b>0)で一様収束する事を示せ。

という問題です。

f_n(x)の極限関数f(x)はf(x)=xln(x)になるかと思います。

それで差
|xln(x+1/n)-xln(x)|がεで抑えられるnの値を見つけようとしているのですが
|xln(x+1/n)-xln(x)|=|xln(1+1/(nx)|≦|bln(1+1/(nx)|となったのですが
|bln(1+1/(nx)|はどんな大きなnを与えてもxは幾らでも小さく(0に近く)採る事が出来ますので|bln(1+1/(nx)|は幾らでも大きくする事ができると思います。

例えばb=1,ε=1/10とかの場合,
|bln(1+1/(nx)|<1/10は
1+1/(nx)<e^(1/10)
1/(nx)<e^(1/10)-1
nx>1/(e^(1/10)-1)(≒2.71828^(1/10)-1)=9.5083386657041165016339582893154
より
n=10と採ったとしてもxがx=1/10なら
nx≦1/(e^(1/10)-1)
となってしまいεで抑える事ができません。

どのようにしてnを探せばいいのでしょうか?

回答No.2

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。問題に対する考察が不足しています。

任意のε>0に対して、ε＞1/N を満たす十分大きな番号N>0をとれば、Ｎ＞ｎを満たすすべてのｎに対して、(0,b]内のどんなxに対しても

|f_n(x)-f(x)|
＝|x・log(x+1/n)－x・log(x)|
＝|x・log(1+1/(nx))|
＝1/n|log(1+1/(nx))^{nx}|
≦1/n|log(1+1/(nb))^{nb}|　（∵(1+1/m)^mが単調増加だから）
≦1/n　（∵logも単調増加関数で、log(1+1/(nb))^{nb}<1だから）
＜ε

したがって、f_n(x)は(0,b]で一様収束する。

※ケースバイケースですが、このような問題では対数はlnと書かずにlogと書いたほうが、誤解を与えずに他の回答者さんも分かりやすいと思います。
なぜなら、この問題を最初に見たとき　私はln のｌは絶対値の記号でnは添え字のnだと思ってしばらく考えていました。

お礼

> |f_n(x)-f(x)|
：
> したがって、f_n(x)は(0,b]で一様収束する。

どうも有難うございます。納得致しました。

> ※ケースバイケースですが、このような問題では対数はlnと書かずにlogと書いたほ
> うが、誤解を与えずに他の回答者さんも分かりやすいと思います。
> なぜなら、この問題を最初に見たとき　私はln のｌは絶対値の記号でnは添え字のn
> だと思ってしばらく考えていました。

気をつけたいと思います。

回答No.1

koko_u_

>～すので|bln(1+1/(nx)|は幾らでも大きくする事ができると思います。
つまり

>|xln(1+1/(nx)|≦|bln(1+1/(nx)|となった
の評価が「おおざっぱ」すぎるということです。

お礼

レス有難うございます。

>>|xln(1+1/(nx)|≦|bln(1+1/(nx)|となった
> の評価が「おおざっぱ」すぎるということです。

そうしますと,どのように評価すればいいのでしょうか?