楕円の形状について

質問

ある点とそこから楕円との２つの接点がわかっている場合に楕円の式を決めることは可能でしょうか？

回答No.3

take_5

＞No.1の方は中心が原点で斜めになっていない楕円を求めようとしていますが、そういった追加条件がないと一つには決められないのです。

断りがないから、標準形でいいだろう。

＞さらにNo.1の方の方法ではα＝β＝0のときなど求められないことがあります。

人の文章はよく読みなさい。

＞ある点を楕円の外部の点Ｐ（α、β）とし

と書いたが。日本語が読めないんだな。

回答No.2

nakaizu

ある点とそこから楕円に引いた2本の接線の接点の座標から楕円の式が求められるかということですね。
これは求められません。条件を満たす楕円は無数に存在しますから、一つに決められません。
No.1の方は中心が原点で斜めになっていない楕円を求めようとしていますが、そういった追加条件がないと一つには決められないのです。
さらにNo.1の方の方法ではα＝β＝0のときなど求められないことがあります。
条件を満たす楕円を一つでよいから求めたいのならば次ぎのようにするのがよいと思います。
まず、ある点が原点になるように平行移動します。次ぎに接点が(1,0)と(0,1)に変換される一次変換をします。円(x-1)^2+(y-1)^2=1を逆変換してやれば求めたい楕円が求められます。

回答No.1

take_5

出来るんじゃないか。

楕円の中心を原点とし（原点でなければ、平行移動を考える必要があるが）楕円の方程式を　（x/a）＾2＋（y/b）＾2＝1　‥‥(1)　（a＞0、b＞0）とする。
ある点を楕円の外部の点Ｐ（α、β）とし、2つの接点をＡ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）とすると、極と極線の関係から、
直線ＡＢの方程式は　（αx/a＾2）＋（βy/b＾2）＝1　‥‥(2)として求められる。
題意から、Ｐ（α、β）、Ａ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）は具体値だから、(2)に代入すれば、連立方程式を解いてaとbの値が求められる。
従って、

＞ある点とそこから楕円との２つの接点がわかっている場合

ある点と2つの接点が具体的に与えられていれば、楕円の式を決めることは可能。
但し、何度も言うが、楕円の中心が原点でなければ、平行移動を考える必要がある。