変数のとりかた
- 底面の半径が1の直円柱3本を、それぞれx,y,z軸を中心に作ったとき、共通部分の体積を求めよ。
- 解答では、平面z=tでの断面積を求め、(形が変わるt=(1/2)^(1/2)で場合分けして、途中で出てくる扇形の中心角をaとおく)それを積分して求める、というやり方でした。
- 自分の解答では、z=cos(t)で切って求めましたが(同じくt=pi/4で場合分け)、答えが全く違ったものになってしまいました。
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変数(?)のとりかた
底面の半径が1の直円柱3本を、それぞれx,y,z軸を中心に作ったとき、共通部分の体積を求めよ。 というような問題(概略)を解いています。 解答では、平面z=tでの断面積を求め、 (形が変わるt=(1/2)^(1/2)で場合分けして、途中で出てくる扇形の中心角をaとおく) それを積分して求める、というやり方でした。 (答え:16-8*2^(1/2)) 自分の解答では、z=cos(t)で切って求めましたが(同じくt=pi/4で場合分け)、 答えが全く違ったものになってしまいました。 切る平面を決めた後は、面積を求めるときの図は解答と同じなのですが… 解答が違ったのはなぜでしょうか? ・ただの積分計算間違い ・そもそもz=cos(t)と置いたのが駄目 もし後者でしたら、その理由も教えて下さい。 よろしくお願いします。
- ikeshi
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z = t で切ったときの断面積を S(t) としたとき、z=a と z=b で囲まれた部分の体積が、 S(t) の a から b までの定積分で与えられることはご存知ですね。その理由は、微小区間 z = t と z = t + Δt で囲まれた部分の体積が(断面積を S(t) で代表させて)S(t)*Δt になるからです。 一方、z = cosθ とおいた場合、 z = cosθ と z = cos(θ+Δθ)で囲まれた部分の体積(#)は、S(cosθ)*Δθ にはならないでしょう。θの増分と z の増分が違うので、Δz = -sinθ*Δθ としなければならないからです。したがって、この部分の体積は - S(cosθ)*sinθ*Δθ になるはずです。 もうおわかりでしょうが、置換積分のことを言っているにすぎません。 というわけで、お答えとしては「 z=cos(t) とおいてもよいが、dz = -sin(t) dt を忘れないで」といったところでしょうか。 (#)cos は[0,π]で単調減少なので、Δθ> 0 のときは、符号をつけて負の体積と考えてください。 これでわかっていただけると思いますが、わからなければ再質問をお願いします。
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お礼
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